Máy Tính Phương Sai của Phân Phối Xác Suất

Nhập phép tính

Các giá trị x (cách nhau bằng dấu phẩy)

Các xác suất p (cách nhau bằng dấu phẩy)

Kết quả

Phương sai Var(X)

0,49

σ² của phân phối

Giá trị trung bình μ = Σ pᵢxᵢ	2,1
E[X²] = Σ pᵢxᵢ²	4,9
Độ lệch chuẩn σ	0,7
Σ pᵢ (phải bằng 1)	1

Công cụ này làm gì

Công cụ này tính phương sai và độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên rời rạc dựa trên phân phối xác suất của nó. Bạn chỉ cần nhập từng giá trị có thể xảy ra (\(x_i\)) cùng xác suất tương ứng (\(p_i\)), và máy tính sẽ trả về phương sai Var(X), kỳ vọng (giá trị trung bình) \(\mu\), giá trị kỳ vọng của \(X^2\) và độ lệch chuẩn \(\sigma\). Phương sai cho biết các kết quả phân tán quanh giá trị trung bình như thế nào — phương sai nhỏ nghĩa là các kết quả tập trung gần giá trị trung bình, còn phương sai lớn cho thấy chúng trải rộng và phân tán mạnh.

Cách sử dụng

Nhập danh sách các giá trị, cách nhau bằng dấu phẩy, vào ô đầu tiên (ví dụ 1, 2, 3). Sau đó nhập các xác suất tương ứng theo đúng thứ tự vào ô thứ hai (ví dụ 0.2, 0.5, 0.3). Tổng các xác suất phải bằng 1; máy tính sẽ hiển thị \(\sum p_i\) để bạn kiểm tra lại điều này. Bấm nút tính toán để xem phương sai cùng các thống kê liên quan.

Giải thích công thức

Phương sai được tính theo dạng công thức tiện lợi sau:

$$\operatorname{Var}(X) = \sum p_i x_i^{2} - \left(\sum p_i x_i\right)^{2}$$

Trong đó \(\sum p_i x_i\) chính là giá trị trung bình \(\mu = E[X]\), còn \(\sum p_i x_i^{2}\) là \(E[X^2]\). Lấy \(E[X^2]\) trừ đi bình phương của giá trị trung bình ta được phương sai. Cách này hoàn toàn tương đương về mặt đại số với định nghĩa \(\operatorname{Var}(X) = \sum p_i (x_i - \mu)^{2}\), nhưng dễ tính hơn vì chỉ cần một lượt tính. Độ lệch chuẩn đơn giản là \(\sigma = \sqrt{\operatorname{Var}(X)}\).

Quảng cáo

Phương sai đo mức độ phân tán của các kết quả quanh giá trị trung bình của phân phối.

Ví dụ minh họa

Giả sử X nhận các giá trị 1, 2, 3 với xác suất lần lượt là 0.2, 0.5, 0.3. Giá trị trung bình là $$\mu = 1(0.2) + 2(0.5) + 3(0.3) = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1.$$ $$E[X^2] = 1(0.2) + 4(0.5) + 9(0.3) = 0.2 + 2.0 + 2.7 = 4.9.$$ Vậy $$\operatorname{Var}(X) = 4.9 - 2.1^{2} = 4.9 - 4.41 = 0.49,$$ và \(\sigma = \sqrt{0.49} = 0.7\).

Mỗi kết quả đóng góp \(p_i x_i\) và \(p_i x_i^{2}\) vào hai tổng trong công thức phương sai.

Câu hỏi thường gặp

Tổng các xác suất có bắt buộc bằng 1 không? Có, để phân phối hợp lệ thì tổng phải bằng 1. Máy tính hiển thị \(\sum p_i\) để bạn xác nhận. Nếu tổng không bằng 1, kết quả sẽ không chính xác.

Phương sai và độ lệch chuẩn khác nhau ra sao? Phương sai có đơn vị là bình phương của đơn vị gốc; còn độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai, cùng đơn vị với X nên dễ diễn giải hơn.

Phương sai có thể âm không? Không. Về mặt toán học, phương sai luôn \(\geq 0\). Nếu kết quả ra số âm thì chắc chắn bạn đã nhập sai dữ liệu xác suất.