Что делает этот калькулятор
Инструмент вычисляет дисперсию и стандартное отклонение дискретной случайной величины по её распределению вероятностей. Вы задаёте каждое возможное значение (\(x_i\)) и вероятность этого значения (\(p_i\)), а калькулятор возвращает дисперсию \(\text{Var}(X)\), математическое ожидание \(\mu\), ожидаемое значение \(X^2\) и стандартное отклонение \(\sigma\). Дисперсия показывает, насколько сильно значения разбросаны вокруг среднего: маленькая дисперсия означает, что значения держатся около среднего, а большая — что они разбросаны широко.
Как пользоваться
В первое поле введите значения через запятую (например, 1, 2, 3). Во второе поле в том же порядке введите соответствующие вероятности (например, 0.2, 0.5, 0.3). Сумма вероятностей должна быть равна 1; калькулятор отдельно показывает \(\sum p_i\), чтобы вы могли это проверить. Нажмите «Рассчитать» — и получите дисперсию вместе с остальными статистиками.
Разбор формулы
Для расчёта дисперсии используется удобная вычислительная форма:
$$\text{Var}(X) = \sum p_i x_i^{2} - \left(\sum p_i x_i\right)^{2}$$
Здесь \(\sum p_i x_i\) — это среднее \(\mu = E[X]\), а \(\sum p_i x_i^{2}\) — это \(E[X^2]\). Если вычесть квадрат среднего из \(E[X^2]\), получится дисперсия. Алгебраически это то же самое, что и определение \(\text{Var}(X) = \sum p_i(x_i - \mu)^{2}\), но считать по этой формуле проще — за один проход. Стандартное отклонение находится просто: \(\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}\).
Пример с решением
Пусть X принимает значения 1, 2, 3 с вероятностями 0.2, 0.5, 0.3. Среднее равно $$\mu = 1(0.2) + 2(0.5) + 3(0.3) = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1.$$ Далее $$E[X^2] = 1(0.2) + 4(0.5) + 9(0.3) = 0.2 + 2.0 + 2.7 = 4.9.$$ Тогда $$\text{Var}(X) = 4.9 - 2.1^{2} = 4.9 - 4.41 = 0.49,$$ а \(\sigma = \sqrt{0.49} = 0.7\).
Частые вопросы
Обязательно ли вероятности должны давать в сумме 1? Да, для корректного распределения это необходимо. Калькулятор показывает \(\sum p_i\), чтобы вы могли убедиться. Если сумма не равна 1, результаты будут неточными.
Чем дисперсия отличается от стандартного отклонения? Дисперсия измеряется в квадратах единиц измерения, а стандартное отклонение — это квадратный корень из неё, выраженный в тех же единицах, что и X. Поэтому стандартное отклонение проще интерпретировать.
Может ли дисперсия быть отрицательной? Нет. Математически дисперсия всегда \(\geq 0\). Отрицательный результат говорит об ошибке при вводе вероятностей.
