Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula la varianza y la desviación típica de una variable aleatoria discreta a partir de su distribución de probabilidad. Solo tienes que introducir cada posible resultado (\(x_i\)) y la probabilidad asociada (\(p_i\)), y la calculadora te devuelve la varianza \(\operatorname{Var}(X)\), la media \(\mu\), el valor esperado de \(X^2\) y la desviación típica \(\sigma\). La varianza mide cuánto se dispersan los resultados alrededor de la media: un valor pequeño indica que los resultados se concentran cerca del promedio, mientras que un valor grande significa que están muy repartidos.
Cómo usarla
Escribe los resultados como una lista separada por comas en la primera casilla (por ejemplo, 1, 2, 3). Introduce las probabilidades correspondientes en el mismo orden en la segunda casilla (por ejemplo, 0.2, 0.5, 0.3). Las probabilidades deben sumar 1; la calculadora muestra \(\sum p_i\) para que puedas comprobarlo. Pulsa en calcular para ver la varianza y el resto de estadísticos.
La fórmula explicada
La varianza se obtiene con la práctica fórmula de cálculo:
$$\operatorname{Var}(X) = \sum p_i x_i^{2} - \left(\sum p_i x_i\right)^{2}$$
Aquí \(\sum p_i x_i\) es la media \(\mu = E[X]\), y \(\sum p_i x_i^{2}\) es \(E[X^2]\). Al restar el cuadrado de la media a \(E[X^2]\) se obtiene la varianza. Esta expresión es algebraicamente idéntica a la definición \(\operatorname{Var}(X) = \sum p_i (x_i - \mu)^{2}\), pero resulta más cómoda porque se calcula de una sola pasada. La desviación típica es simplemente \(\sigma = \sqrt{\operatorname{Var}(X)}\).
Ejemplo resuelto
Supongamos que X toma los valores 1, 2 y 3 con probabilidades 0.2, 0.5 y 0.3. La media es $$\mu = 1(0.2) + 2(0.5) + 3(0.3) = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1.$$ $$E[X^2] = 1(0.2) + 4(0.5) + 9(0.3) = 0.2 + 2.0 + 2.7 = 4.9.$$ Por tanto, $$\operatorname{Var}(X) = 4.9 - 2.1^{2} = 4.9 - 4.41 = 0.49,$$ y \(\sigma = \sqrt{0.49} = 0.7\).
Preguntas frecuentes
¿Las probabilidades tienen que sumar 1? Sí, para que la distribución sea válida. La calculadora muestra \(\sum p_i\) para que puedas confirmarlo. Si no suma 1, los resultados no serán correctos.
¿En qué se diferencian la varianza y la desviación típica? La varianza se expresa en unidades al cuadrado; la desviación típica es su raíz cuadrada y se expresa en las mismas unidades que X, lo que facilita su interpretación.
¿Puede ser negativa la varianza? No. Matemáticamente, la varianza siempre es \(\geq 0\). Un resultado negativo indica que has cometido un error al introducir las probabilidades.
