這個計算機能做什麼
本工具可從離散隨機變數的機率分布，計算出它的變異數與標準差。你只要輸入每一個可能的結果值（\(x_i\)）以及該結果發生的機率（\(p_i\)），計算機就會回傳變異數 \(\text{Var}(X)\)、平均數 \(\mu\)、X² 的期望值，以及標準差 \(\sigma\)。變異數用來衡量各結果值圍繞平均數分散的程度——變異數小代表結果都集中在平均值附近，變異數大則表示資料分布得相當零散。
使用方式
在第一個欄位中以逗號分隔輸入各結果值（例如 1, 2, 3），再於第二個欄位以相同順序填入對應的機率（例如 0.2, 0.5, 0.3）。所有機率加總應等於 1；計算機會顯示 \(\sum p_i\) 讓你核對是否正確。按下計算，即可看到變異數與相關統計量。
公式說明
變異數採用方便運算的計算式：
$$\text{Var}(X) = \sum p_i x_i^{2} - \left(\sum p_i x_i\right)^{2}$$
其中 \(\sum p_i x_i\) 就是平均數 \(\mu = E[X]\)，而 \(\sum p_i x_i^{2}\) 即為 \(E[X^{2}]\)。把平均數的平方從 \(E[X^{2}]\) 中減去，便得到變異數。這在代數上與定義式 \(\text{Var}(X) = \sum p_i (x_i - \mu)^{2}\) 完全相同，但只需掃描一次資料就能算出，更為簡便。標準差則直接為 \(\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}\)。
範例演算
假設 X 可能取值 1、2、3，對應機率為 0.2、0.5、0.3。平均數 \(\mu = 1(0.2) + 2(0.5) + 3(0.3) = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1\)。\(E[X^{2}] = 1(0.2) + 4(0.5) + 9(0.3) = 0.2 + 2.0 + 2.7 = 4.9\)。因此 $$\text{Var}(X) = 4.9 - 2.1^{2} = 4.9 - 4.41 = 0.49$$ 標準差 \(\sigma = \sqrt{0.49} = 0.7\)。
常見問題
機率一定要加總為 1 嗎？是的，這樣才是有效的機率分布。計算機會顯示 \(\sum p_i\) 供你確認；若不等於 1，計算結果就會失準。
變異數和標準差有什麼差別？變異數的單位是原始單位的平方；標準差則是它的平方根，單位與 X 相同，因此更容易解讀。
變異數可能是負數嗎？不會。在數學上變異數恆 \(\geq 0\)。如果算出負值，代表你輸入的機率資料有誤。
