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數學公式

數學公式: 機率計算器
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  1. Combined (independent)

    Combined (independent): 機率計算器

    Both events and at least one event

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結果

事件 A 的機率 — P(A)
0.1667
16.67% chance
數量 機率 百分比
P(A) — 事件 A 發生 0.1667 16.67%
P(非A) — A 不發生 0.8333 83.33%
P(B) — 事件 B 發生 0.5 50%
P(A且B) — 兩者同時發生 0.0833 8.33%
P(A或B) — 至少發生一個 0.5833 58.33%

什麼是機率計算器?

這個工具會把單一事件 A 的機率,計算為「有利結果數」除以「所有可能結果數」的比值。此外,它還能結合兩個獨立事件,算出兩者同時發生、至少其中一個發生,以及 A 不發生的機率。

顯示兩個事件交集、聯集和補集區域的范恩圖
複合事件:交集(A 且 B)、聯集(A 或 B)和補集(非 A)。

使用方式

輸入事件 A 的有利結果數與總結果數;若有需要,也可以一併輸入事件 B 的數值。計算器會回傳 P(A)、P(B)、P(非A)、P(A且B) 與 P(A或B),並同時以小數與百分比兩種形式顯示。複合機率的結果是建立在 A 與 B 為「獨立事件」的前提上——也就是其中一個的結果,完全不會影響另一個。

公式說明

對單一事件而言,\(P(A)=\dfrac{\text{有利結果}}{\text{總結果}}\)。其餘事件(補集)為 \(P(\text{非}A)=1-P(A)\)。對兩個獨立事件來說,交集為 \(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\),聯集則是 \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\);之所以要減去交集,是為了避免把重疊的部分重複計算。

$$P(A)=\dfrac{\text{有利結果}}{\text{總結果}}$$$$P(A\cap B)=P(A)\times P(B),\quad P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$
在所有結果中作為子集突顯的有利結果
機率是有利結果數與總結果數之比。

實例演練

擲骰子出現六點:\(P(A)=\frac{1}{6}\approx 0.1667\)。擲硬幣出現正面:\(P(B)=\frac{1}{2}=0.5\)。兩者同時發生:\(P(A\text{且}B)=0.1667\times 0.5\approx 0.0833\)。至少發生一個:$$P(A\text{或}B)=0.1667+0.5-0.0833\approx 0.5833$$(大約 58.3%)。

常見問題

「獨立」是什麼意思?當其中一個事件的結果,不會改變另一個事件發生的機率時,這兩個事件就是獨立的,例如分開來進行的擲硬幣或擲骰子。

機率會超過 1 嗎?不會。有效的機率永遠介於 0 到 1 之間(也就是 0% 到 100%)。

如果事件不是獨立的怎麼辦?此時 \(P(A\text{且}B)=P(A)\times P(B|A)\)(在 A 發生的條件下 B 的機率),本工具所用的簡單相乘公式就不再適用了。

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