Ce que fait ce calculateur
Cet outil calcule la variance et l'écart-type d'une variable aléatoire discrète à partir de sa loi de probabilité. Vous saisissez chaque résultat possible (\(x_i\)) ainsi que la probabilité associée (\(p_i\)), et le calculateur vous renvoie la variance \(\text{Var}(X)\), l'espérance \(\mu\), l'espérance de \(X^2\) et l'écart-type \(\sigma\). La variance mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne : une variance faible signifie que les valeurs se concentrent près de la moyenne, tandis qu'une variance élevée indique qu'elles sont fortement dispersées.
Mode d'emploi
Saisissez les valeurs sous forme de liste séparée par des virgules dans le premier champ (par exemple 1, 2, 3). Indiquez les probabilités correspondantes dans le même ordre dans le second champ (par exemple 0.2, 0.5, 0.3). La somme des probabilités doit être égale à 1 ; le calculateur affiche \(\sum p_i\) pour vous permettre de le vérifier. Cliquez sur « Calculer » pour obtenir la variance et les statistiques associées.
La formule expliquée
La variance s'appuie sur la formule de calcul pratique suivante :
$$\text{Var}(X) = \sum p_i x_i^{2} - \left(\sum p_i x_i\right)^{2}$$Ici, \(\sum p_i x_i\) correspond à la moyenne \(\mu = E[X]\), et \(\sum p_i x_i^{2}\) à \(E[X^2]\). En soustrayant le carré de la moyenne à \(E[X^2]\), on obtient la variance. Cette expression est algébriquement identique à la définition \(\text{Var}(X) = \sum p_i (x_i - \mu)^{2}\), mais elle se calcule plus facilement en une seule passe. L'écart-type est simplement \(\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}\).
Exemple détaillé
Supposons que X prenne les valeurs 1, 2, 3 avec les probabilités 0.2, 0.5, 0.3. La moyenne vaut $$\mu = 1(0{,}2) + 2(0{,}5) + 3(0{,}3) = 0{,}2 + 1{,}0 + 0{,}9 = 2{,}1.$$ $$E[X^2] = 1(0{,}2) + 4(0{,}5) + 9(0{,}3) = 0{,}2 + 2{,}0 + 2{,}7 = 4{,}9.$$ On a donc $$\text{Var}(X) = 4{,}9 - 2{,}1^{2} = 4{,}9 - 4{,}41 = 0{,}49,$$ et \(\sigma = \sqrt{0{,}49} = 0{,}7\).
Questions fréquentes
La somme des probabilités doit-elle être égale à 1 ? Oui, pour qu'une loi soit valide. Le calculateur affiche \(\sum p_i\) pour vous permettre de le confirmer. Si la somme n'est pas égale à 1, vos résultats seront erronés.
Quelle est la différence entre la variance et l'écart-type ? La variance s'exprime en unités au carré ; l'écart-type en est la racine carrée, exprimée dans la même unité que X, ce qui le rend plus facile à interpréter.
La variance peut-elle être négative ? Non. Mathématiquement, la variance est toujours \(\geq 0\). Un résultat négatif signale une erreur de saisie dans les probabilités.
