這個計算機能做什麼
離散機率分布會列出一個隨機變數所有可能出現的結果，以及每個結果發生的機率。這個計算機只要輸入這張表——一組數值（x）與其對應的機率（p）——就能立即算出概括整個分布的三個關鍵數字：平均數（期望值）、變異數，以及標準差。
使用方式
在第一個欄位輸入各個結果的數值，並以逗號分隔（例如 1, 2, 3, 4）。在第二個欄位依相同順序輸入對應的機率（例如 0.1, 0.2, 0.3, 0.4）。請確認兩組數列的項目數量相同，而且所有機率加總等於 1。按下計算按鈕即可看到結果。本工具還會顯示機率的總和，方便您確認這個分布是否有效。
公式解析
平均數以 \(\mu\) 表示，是以機率為權重的加權平均：$$\mu = \sum_{i} x_i \cdot p_i$$也就是把每個數值乘上它對應的機率，再把所有乘積相加。變異數以 \(\sigma^{2}\) 表示，用來衡量各結果偏離平均數的程度：$$\sigma^{2} = \sum_{i} \left(x_i - \mu\right)^{2} \cdot p_i$$標準差 \(\sigma\) 則是變異數的平方根，它與數值使用相同的單位來表達離散程度。
範例演算
假設 \(x = 1, 2, 3, 4\)，對應的機率為 \(0.1, 0.2, 0.3, 0.4\)。平均數為 $$1(0.1) + 2(0.2) + 3(0.3) + 4(0.4) = 0.1 + 0.4 + 0.9 + 1.6 = 3.0$$變異數為 $$(1-3)^{2}(0.1) + (2-3)^{2}(0.2) + (3-3)^{2}(0.3) + (4-3)^{2}(0.4) = 0.4 + 0.2 + 0 + 0.4 = 1.0$$因此標準差為 \(\sqrt{1.0} = 1.0\)。
常見問題
機率一定要加總等於 1 嗎？是的，這樣才算是有效的機率分布。計算機會顯示總和供您確認；如果加起來不等於 1，算出來的結果就沒有意義。
變異數和標準差有什麼不同？變異數是各結果偏離平均數的平方差之平均；標準差則是變異數的平方根，能讓衡量結果回到原本的單位。
可以輸入負數嗎？可以。結果數值可以是任何實數，只有機率必須介於 0 與 1 之間。
