什麼是單一比例 Z 檢定？
單一比例 Z 檢定（又稱單樣本比例檢定）用來檢驗某個母體比例是否與已知或假設的數值有顯著差異。它特別適合處理「是/否」、「通過/不通過」、「成功/失敗」這類二分資料，例如：檢測一枚硬幣是否公正、某個轉換率是否優於基準值，或產品不良率是否符合目標標準。
如何使用這個計算器
請輸入成功次數（\(x\)）、總樣本數（\(n\)），以及假設比例（\(p_0\)，介於 0 與 1 之間的數值）。接著選擇你的對立假設：雙尾（真實比例只是與 \(p_0\) 不同）、左尾（小於 \(p_0\)）或右尾（大於 \(p_0\)）。計算器會回傳樣本比例、標準誤、\(Z\) 統計量，以及對應的 \(p\) 值。
公式說明
檢定統計量為 $$z = \dfrac{\hat{p} - \text{p}_0}{\sqrt{\dfrac{\text{p}_0\left(1 - \text{p}_0\right)}{\text{n}}}} \qquad \hat{p} = \dfrac{\text{x}}{\text{n}}$$ 其中 \(\hat{p} = x/n\) 為樣本比例。分母是在虛無假設成立的前提下計算的比例標準誤，因此使用 \(p_0\) 而非 \(\hat{p}\)。算出的 \(z\) 值會與標準常態分布比較，以求得 \(p\) 值。當 \(n \cdot p_0\) 與 \(n \cdot (1 - p_0)\) 都至少達到約 5 至 10 時，常態近似才會足夠可靠。
實例演練
假設 100 位選民中有 55 位支持某項提案，你以雙尾對立假設來檢定 \(p_0 = 0.5\)。此時 \(\hat{p} = 0.55\)，標準誤 $$\sqrt{\frac{0.5 \cdot 0.5}{100}} = 0.05$$ $$z = \frac{0.55 - 0.5}{0.05} = 1.0$$ 雙尾 \(p\) 值約為 0.317，因此在 \(\alpha = 0.05\) 的顯著水準下，你無法拒絕虛無假設。
常見問題
樣本數要多大才合適？請確認 \(n \cdot p_0 \geq 5\) 且 \(n \cdot (1 - p_0) \geq 5\)，常態近似才會成立；否則應改用精確二項檢定（exact binomial test）。
該用單尾還是雙尾？除非你在收集資料前就已先設定好方向性的假設，否則一般建議使用雙尾檢定。
如何解讀 p 值？若 \(p\) 值低於你的顯著水準（通常為 0.05），就可拒絕「真實比例等於 \(p_0\)」的虛無假設。
