ما هو اختبار Z لنسبة واحدة؟
يُستخدم اختبار Z لنسبة واحدة (ويُعرف أيضاً باختبار النسبة من عينة واحدة) للتحقق مما إذا كانت نسبة في المجتمع تختلف عن قيمة معروفة أو مفترضة. وهو شائع جداً مع البيانات الثنائية من نوع نعم/لا، نجاح/فشل، أو سليم/معيب — فمثلاً يمكنك اختبار ما إذا كانت عملة معدنية عادلة، أو هل يتفوّق معدّل التحويل (Conversion Rate) على معيار محدّد، أو هل يلتزم معدّل العيوب بالهدف المطلوب.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل عدد النجاحات (x)، وحجم العينة الكلي (n)، والنسبة المفترضة (p₀، وهي قيمة بين 0 و1). ثم اختر الفرضية البديلة المناسبة: ثنائية الطرف (النسبة الحقيقية تختلف ببساطة عن p₀)، أو يسارية الطرف (أقل من p₀)، أو يمينية الطرف (أكبر من p₀). تعرض لك الحاسبة نسبة العينة، والخطأ المعياري، وإحصائية z، والقيمة الاحتمالية p المقابلة.
شرح المعادلة
تُحسب إحصائية الاختبار بالعلاقة $$z = \dfrac{\hat{p} - \text{p}_0}{\sqrt{\dfrac{\text{p}_0\left(1 - \text{p}_0\right)}{\text{n}}}} \qquad \hat{p} = \dfrac{\text{x}}{\text{n}}$$ حيث \(\hat{p} = x/n\) هي نسبة العينة. ويمثّل المقام الخطأ المعياري للنسبة محسوباً في ظل الفرضية الصفرية، ولهذا السبب يعتمد على \(p_0\) وليس على \(\hat{p}\). ثم تُقارن قيمة \(z\) الناتجة بالتوزيع الطبيعي القياسي للحصول على القيمة الاحتمالية p. ويكون التقريب الطبيعي موثوقاً عندما يكون كل من \(n \cdot p_0\) و \(n \cdot (1 - p_0)\) لا يقل عن نحو 5 إلى 10.
مثال تطبيقي
لنفترض أن 55 من أصل 100 ناخب يؤيدون مقترحاً معيناً، وأردت اختبار \(p_0 = 0.5\) بفرضية بديلة ثنائية الطرف. عندئذٍ تكون \(\hat{p} = 0.55\)، والخطأ المعياري \(= \sqrt{0.5 \cdot 0.5/100} = 0.05\)، و \(z = (0.55 - 0.5)/0.05 = 1.0\). وتكون القيمة الاحتمالية p ثنائية الطرف \(\approx 0.317\)، لذا عند مستوى دلالة \(\alpha = 0.05\) لن ترفض الفرضية الصفرية.
الأسئلة الشائعة
ما هو حجم العينة المناسب؟ احرص على أن يكون \(n \cdot p_0 \geq 5\) و \(n \cdot (1 - p_0) \geq 5\) حتى يصحّ التقريب الطبيعي؛ وإلا فاستخدم اختبار ذات الحدين الدقيق (Exact Binomial Test).
طرف واحد أم طرفان؟ استخدم الاختبار ثنائي الطرف ما لم تكن لديك فرضية اتجاهية محدّدة مسبقاً قبل جمع البيانات.
كيف أفسّر القيمة الاحتمالية p؟ إذا كانت القيمة الاحتمالية أقل من مستوى الدلالة لديك (وهو غالباً 0.05)، فارفض الفرضية الصفرية القائلة بأن النسبة الحقيقية تساوي \(p_0\).
