Что такое z-критерий для одной доли?
Z-критерий для одной доли (его также называют одновыборочным критерием для доли) проверяет, отличается ли доля в генеральной совокупности от известного или предполагаемого значения. Этот метод широко применяется для данных типа «да/нет», «годен/брак» или «успех/неудача» — например, чтобы проверить, честная ли монета, превышает ли конверсия заданный ориентир или соответствует ли доля брака целевому уровню.
Как пользоваться калькулятором
Введите число успехов (\(x\)), общий объём выборки (\(n\)) и гипотетическую долю (\(p_0\) — значение от 0 до 1). Выберите альтернативную гипотезу: двусторонняя (истинная доля просто отличается от \(p_0\)), левосторонняя (меньше \(p_0\)) или правосторонняя (больше \(p_0\)). Калькулятор выдаст выборочную долю, стандартную ошибку, z-статистику и соответствующее p-значение.
Разбор формулы
Статистика критерия вычисляется как $$z = \dfrac{\hat{p} - \text{p}_0}{\sqrt{\dfrac{\text{p}_0\left(1 - \text{p}_0\right)}{\text{n}}}} \qquad \hat{p} = \dfrac{\text{x}}{\text{n}}$$ где \(\hat{p} = x/n\) — выборочная доля. В знаменателе стоит стандартная ошибка доли, рассчитанная в предположении нулевой гипотезы, поэтому в ней используется именно \(p_0\), а не \(\hat{p}\). Полученное значение \(z\) сравнивается со стандартным нормальным распределением для расчёта p-значения. Нормальное приближение надёжно, когда и \(n\cdot p_0\), и \(n\cdot(1 - p_0)\) составляют не менее примерно 5–10.
Пример расчёта
Предположим, 55 из 100 избирателей поддерживают некую меру, и вы проверяете \(p_0 = 0{,}5\) с двусторонней альтернативой. Тогда \(\hat{p} = 0{,}55\), стандартная ошибка $$\sqrt{\frac{0{,}5\cdot 0{,}5}{100}} = 0{,}05$$ а $$z = \frac{0{,}55 - 0{,}5}{0{,}05} = 1{,}0$$ Двустороннее p-значение \(\approx 0{,}317\), поэтому при \(\alpha = 0{,}05\) нулевую гипотезу отвергнуть нельзя.
Частые вопросы
Какой объём выборки считается достаточным? Убедитесь, что \(n\cdot p_0 \geq 5\) и \(n\cdot(1 - p_0) \geq 5\) — тогда нормальное приближение работает корректно; в противном случае используйте точный биномиальный критерий.
Односторонний или двусторонний критерий? По умолчанию выбирайте двусторонний, если только у вас нет направленной гипотезы, сформулированной до сбора данных.
Как интерпретировать p-значение? Если p-значение меньше выбранного уровня значимости (обычно 0,05), отвергните нулевую гипотезу о том, что истинная доля равна \(p_0\).
