Qu'est-ce que le test Z pour une proportion ?
Le test z pour une proportion (aussi appelé test sur une proportion à un échantillon) permet de vérifier si une proportion dans la population s'écarte d'une valeur connue ou supposée. Il est très utilisé pour les données binaires de type oui/non, réussite/échec ou succès/défaut — par exemple pour tester si une pièce est équilibrée, si un taux de conversion dépasse une référence, ou si un taux de défaut respecte un objectif.
Comment utiliser ce calculateur
Indiquez le nombre de succès (\(x\)), la taille totale de l'échantillon (\(n\)) et la proportion testée (\(p_0\), une valeur comprise entre 0 et 1). Choisissez ensuite votre hypothèse alternative : bilatérale (la vraie proportion est simplement différente de \(p_0\)), unilatérale à gauche (inférieure à \(p_0\)) ou unilatérale à droite (supérieure à \(p_0\)). Le calculateur affiche la proportion observée, l'erreur type, la statistique \(z\) et la valeur p correspondante.
La formule expliquée
La statistique de test s'écrit $$z = \dfrac{\hat{p} - \text{p}_0}{\sqrt{\dfrac{\text{p}_0\left(1 - \text{p}_0\right)}{\text{n}}}} \qquad \hat{p} = \dfrac{\text{x}}{\text{n}}$$ où \(\hat{p} = x/n\) désigne la proportion observée. Le dénominateur correspond à l'erreur type de la proportion calculée sous l'hypothèse nulle : c'est pourquoi il fait intervenir \(p_0\) et non \(\hat{p}\). Le \(z\) obtenu est ensuite comparé à la loi normale centrée réduite pour en déduire une valeur p. L'approximation normale est fiable lorsque \(n\cdot p_0\) et \(n\cdot(1 - p_0)\) valent tous deux au moins 5 à 10 environ.
Exemple résolu
Supposons que 55 électeurs sur 100 soient favorables à une mesure et que vous testiez \(p_0 = 0{,}5\) avec une hypothèse bilatérale. On a alors \(\hat{p} = 0{,}55\), l'erreur type $$\sqrt{\dfrac{0{,}5\cdot 0{,}5}{100}} = 0{,}05$$ et $$z = \dfrac{0{,}55 - 0{,}5}{0{,}05} = 1{,}0.$$ La valeur p bilatérale est d'environ 0,317 : au seuil \(\alpha = 0{,}05\), vous ne rejetteriez donc pas l'hypothèse nulle.
Foire aux questions
Quelle taille d'échantillon choisir ? Assurez-vous que \(n\cdot p_0 \geq 5\) et \(n\cdot(1 - p_0) \geq 5\) pour que l'approximation normale reste valable ; dans le cas contraire, utilisez un test binomial exact.
Test unilatéral ou bilatéral ? Optez pour un test bilatéral, sauf si vous avez fixé une hypothèse directionnelle avant de recueillir vos données.
Comment interpréter la valeur p ? Si la valeur p est inférieure à votre seuil de signification (souvent 0,05), rejetez l'hypothèse nulle selon laquelle la vraie proportion est égale à \(p_0\).
