Qu'est-ce qu'un test Z pour deux proportions ?
Le test Z pour deux proportions permet de vérifier si l'écart entre deux proportions observées est statistiquement significatif. C'est l'outil de référence pour les tests A/B, mais aussi pour comparer des taux de conversion, des taux de réponse, des taux de défaut ou des taux de réussite entre deux groupes indépendants. Sous l'hypothèse nulle, les deux proportions de la population sont supposées égales : le test regroupe donc les deux échantillons (« pooling ») pour estimer une proportion commune.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez le nombre de « succès » (par exemple des conversions ou des réponses positives) ainsi que la taille totale de l'échantillon pour chacun des deux groupes. Le calculateur vous renvoie la statistique z, une p-value bilatérale, les proportions de chaque échantillon, la proportion poolée et l'erreur type. Comparez ensuite la p-value à votre seuil de signification (généralement 0,05) : si elle est inférieure, l'écart est statistiquement significatif.
La formule expliquée
Calculez d'abord chaque proportion d'échantillon : \(\hat{p}_1 = x_1/n_1\) et \(\hat{p}_2 = x_2/n_2\). Sous l'hypothèse nulle, la proportion poolée vaut \(\hat{p} = (x_1 + x_2)/(n_1 + n_2)\). L'erreur type de la différence s'écrit \(SE = \sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})(1/n_1 + 1/n_2)}\). On obtient enfin la statistique z :
$$z = \frac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{\sqrt{\,\hat{p}\,(1-\hat{p})\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}$$La p-value bilatérale correspond à \(2 \times P(Z > |z|)\) selon la loi normale centrée réduite.
Exemple concret
Supposons que le Groupe 1 compte 45 succès sur 100 (\(\hat{p}_1 = 0{,}45\)) et le Groupe 2 affiche 30 succès sur 100 (\(\hat{p}_2 = 0{,}30\)). La proportion poolée est \((45+30)/(100+100) = 0{,}375\). L'erreur type vaut :
$$SE = \sqrt{0{,}375 \times 0{,}625 \times (0{,}01 + 0{,}01)} = \sqrt{0{,}0046875} \approx 0{,}06847$$On obtient alors :
$$z = \frac{0{,}45 - 0{,}30}{0{,}06847} \approx 2{,}191$$soit une p-value bilatérale ≈ 0,0285 — un résultat significatif au seuil de 5 %.
Questions fréquentes
Faut-il utiliser un test poolé ou non poolé ? La version poolée (utilisée ici) suppose des proportions égales sous l'hypothèse nulle : c'est la méthode standard pour les tests d'hypothèse. L'erreur type non poolée sert généralement au calcul des intervalles de confiance.
Quelle taille d'échantillon faut-il ? L'approximation normale fonctionne bien lorsque chaque groupe compte au moins 5 à 10 succès et 5 à 10 échecs attendus.
La p-value est-elle unilatérale ou bilatérale ? Ce calculateur fournit une p-value bilatérale, qui teste si les proportions diffèrent dans un sens comme dans l'autre.
