Qu'est-ce que le calculateur de test Z ?
Le test Z à un échantillon compare la moyenne d'un échantillon à une moyenne de population connue ou supposée, lorsque l'écart-type de la population (\(\sigma\)) est connu et que la taille de l'échantillon est suffisamment grande. Ce calculateur fournit la statistique de test (score Z) ainsi que les p-valeurs unilatérale et bilatérale, afin que vous puissiez décider de rejeter ou non votre hypothèse nulle.
Comment l'utiliser
Renseignez quatre valeurs : la moyenne de l'échantillon (\(\bar{x}\)), la moyenne supposée de la population (\(\mu_0\)), l'écart-type connu de la population (\(\sigma\)) et la taille de l'échantillon (\(n\)). Le calculateur détermine l'erreur standard, le score Z et les probabilités associées. Comparez ensuite la p-valeur au seuil de signification que vous avez choisi (souvent \(\alpha = 0{,}05\)). Si la p-valeur est inférieure à \(\alpha\), le résultat est statistiquement significatif.
La formule expliquée
La statistique Z s'écrit $$Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma \,/\, \sqrt{n}}$$ Le dénominateur, \(\sigma/\sqrt{n}\), correspond à l'erreur standard de la moyenne : il diminue à mesure que l'échantillon grandit, ce qui rend le test plus sensible. Le numérateur mesure l'écart entre la moyenne observée et la moyenne supposée. La valeur Z obtenue est ensuite reportée sur la loi normale centrée réduite pour en déduire les p-valeurs.
Exemple concret
Imaginons un échantillon de \(n = 36\) dont la moyenne est \(\bar{x} = 105\), avec une moyenne supposée \(\mu_0 = 100\) et \(\sigma = 15\). L'erreur standard vaut $$15/\sqrt{36} = 15/6 = 2{,}5$$ Le score Z est donc $$(105 - 100)/2{,}5 = 2{,}0$$ La p-valeur bilatérale pour \(Z = 2{,}0\) est d'environ 0,0455, soit en dessous de 0,05 : la différence est donc statistiquement significative.
Questions fréquentes
Quand utiliser un test Z plutôt qu'un test t ? Optez pour un test Z lorsque l'écart-type de la population \(\sigma\) est connu et/ou que l'échantillon est grand (\(n \geq 30\)). Préférez un test t lorsque \(\sigma\) est inconnu et estimé à partir de l'échantillon.
Quelle est la différence entre une p-valeur unilatérale et bilatérale ? Un test unilatéral recherche un écart dans une seule direction ; un test bilatéral détecte tout écart, quel que soit son sens, et sa p-valeur correspond simplement au double de la valeur unilatérale.
Comment la p-valeur est-elle calculée ? Cet outil s'appuie sur une approximation numérique de grande précision de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
