Z-검정 계산기란?
일표본 Z-검정은 모집단의 표준편차(σ)를 알고 있고 표본 크기가 충분히 클 때, 표본 평균을 이미 알려진(또는 가설로 세운) 모평균과 비교하는 방법입니다. 이 계산기는 Z값(검정 통계량)과 함께 단측·양측 p값을 함께 제공하므로, 귀무가설을 기각할지 여부를 손쉽게 판단할 수 있습니다.
사용 방법
네 가지 값을 입력하세요. 표본 평균(\(\bar{x}\)), 가설로 세운 모평균(\(\mu_0\)), 알려진 모집단 표준편차(\(\sigma\)), 표본 크기(\(n\))입니다. 계산기는 표준오차, Z값, 그리고 이에 대응하는 확률을 자동으로 계산합니다. 산출된 p값을 미리 정한 유의수준(흔히 \(\alpha = 0.05\))과 비교하세요. p값이 \(\alpha\)보다 작으면 그 결과는 통계적으로 유의하다고 판단합니다.
공식 풀이
Z 통계량은 다음과 같이 구합니다.
$$Z = \frac{\text{Sample Mean} - \text{Population Mean}}{\text{Std Dev} \,/\, \sqrt{\text{Sample Size}}}$$분모인 \(\sigma/\sqrt{n}\)은 평균의 표준오차로, 표본이 커질수록 작아져 검정의 민감도를 높여 줍니다. 분자는 관측된 평균이 가설 평균에서 얼마나 떨어져 있는지를 나타냅니다. 이렇게 얻은 Z값을 표준정규분포에 대응시켜 p값을 계산합니다.
예제로 살펴보기
표본 크기 \(n = 36\), 표본 평균 \(\bar{x} = 105\), 가설 평균 \(\mu_0 = 100\), \(\sigma = 15\)라고 가정해 봅시다. 표준오차는 다음과 같습니다.
$$\frac{15}{\sqrt{36}} = \frac{15}{6} = 2.5$$Z값은 다음과 같습니다.
$$\frac{105 - 100}{2.5} = 2.0$$\(Z = 2.0\)에 대한 양측 p값은 약 0.0455로 0.05보다 작으므로, 이 차이는 통계적으로 유의하다고 볼 수 있습니다.
자주 묻는 질문
t-검정 대신 Z-검정은 언제 쓰나요? 모집단 표준편차 \(\sigma\)를 알고 있거나 표본이 충분히 클 때(\(n \geq 30\)) Z-검정을 사용합니다. 반면 \(\sigma\)를 모르고 표본에서 추정해야 한다면 t-검정을 사용하세요.
단측 p값과 양측 p값은 어떻게 다른가요? 단측 검정은 한 방향으로의 차이만 확인하고, 양측 검정은 방향에 관계없이 어떤 차이든 검정하며 값은 단측 p값의 두 배가 됩니다.
p값은 어떻게 계산되나요? 이 계산기는 표준정규분포의 누적분포함수(CDF)를 고정밀 수치 근사로 계산합니다.
