정확 이항검정이란?
정확 이항검정(exact binomial test)은 예/아니오 형태의 독립 시행을 정해진 횟수만큼 반복했을 때 관측된 성공 횟수가 가정한 성공확률과 일치하는지를 검정하는 방법입니다. 정규근사와 달리 p값을 이항분포에서 직접 계산하기 때문에 표본이 작아도 정확한 결과를 얻을 수 있습니다. 이 도구는 동전 던지기, 전환율, 불량 개수, 합격/불합격 데이터처럼 모든 이진 실험에 두루 활용할 수 있습니다.
계산기 사용법
성공 횟수 k, 전체 시행 횟수 n, 그리고 가정한 성공확률 p(0과 1 사이)를 입력하세요. 계산기는 양측 p값, 관측된 성공 횟수의 확률, 기대 성공 횟수, 그리고 두 가지 단측 p값을 모두 알려줍니다.
공식 살펴보기
각 결과 \(x\)가 나올 확률은 다음과 같습니다.
$$P(X = x) = \binom{\text{n}}{x}\, \text{p}^{\,x}\,\bigl(1-\text{p}\bigr)^{\text{n}-x}$$
양측 p값은 실제로 관측된 결과만큼 또는 그보다 더 일어나기 어려운 모든 결과(\(P(x) \le P(k)\))의 확률을 합한 값입니다.
$$p\text{-value} = \sum_{x\,:\,P(X=x)\,\le\,P\left(X=\text{k}\right)} P(X = x)$$
단측 하측 p값은 \(P(X \le \text{k})\), 단측 상측 p값은 \(P(X \ge \text{k})\)로 구합니다.
$$P\!\left(X \le \text{k}\right) = \sum_{x=0}^{\text{k}} \binom{\text{n}}{x}\, \text{p}^{\,x}\,\bigl(1-\text{p}\bigr)^{\text{n}-x}$$
$$P\!\left(X \ge \text{k}\right) = \sum_{x=\text{k}}^{\text{n}} \binom{\text{n}}{x}\, \text{p}^{\,x}\,\bigl(1-\text{p}\bigr)^{\text{n}-x}$$
예제로 이해하기
동전을 10번 던져 앞면이 8번 나왔고, 이 동전이 공정한지(\(p = 0.5\))를 검정한다고 가정해 봅시다. 앞면이 정확히 8번 나올 확률은 다음과 같습니다.
$$\binom{10}{8}\cdot 0.5^{10} = \frac{45}{1024} \approx 0.043945$$
대칭성에 따라 이와 같거나 더 일어나기 어려운 결과는 앞면이 0, 1, 2, 8, 9, 10번 나오는 경우입니다. 이들의 확률을 모두 더하면 다음과 같이 되며, 이것이 양측 p값입니다.
$$2\cdot\frac{1+10+45}{1024} = \frac{112}{1024} \approx 0.109375$$
이 값이 0.05를 넘으므로 동전이 공정하다는 가설을 기각하지 않게 됩니다.
결과 해석
정확한 이항 검정은 \(n\)번의 독립시행에서 관찰된 성공 횟수 \(k\)를 가설적 성공 확률 \(p\)와 비교합니다. p-값은 다음 하나의 질문에 답합니다: 귀무가설이 참이라면, 관찰된 결과보다 극단적인 결과가 나올 확률은 얼마나 될까요?
양측검정 대 단측검정
양측 p-값은 참의 확률이 \(p\)와 어느 방향으로든 다른지를 검정합니다. 관찰된 \(k\)의 우도 이하의 모든 결과들의 확률을 합산합니다 (이 계산기 및 R의 binom.test에서 사용하는 방법). 높은 결과나 낮은 결과를 예상할 선험적 이유가 없을 때 사용하십시오.
단측 p-값은 방향이 정해진 주장을 검정합니다 — 예를 들어 "참의 확률이 \(p\)보다 크다"는 것입니다. 지정된 한쪽 꼬리에서만 확률을 합산합니다. 단측 p-값은 양측 값의 대략 절반이므로, 데이터를 본 후가 아니라 전에 방향을 선택하십시오.
유의수준(알파)
임계값 \(\alpha\)는 허용할 수 있는 거짓양성 확률입니다. 일반적인 선택은 \(\alpha = 0.05\) 및 더 엄격한 \(\alpha = 0.01\)입니다. p-값을 \(\alpha\)와 비교합니다:
- p-값 \(\le \alpha\)인 경우: 귀무가설을 기각합니다 — 데이터가 \(p\)와 충분히 불일치하여 통계적으로 유의합니다.
- p-값 \(> \alpha\)인 경우: 귀무가설을 기각하지 않습니다 — 데이터가 \(p\)와 양립합니다.
"기각하지 않음"의 의미와 의미하지 않는 것
"기각하지 않음"은 귀무가설에 대한 충분한 증거가 부족함을 의미할 뿐입니다. 귀무가설이 참임을 증명하지 않습니다. 표본이 작으면 참의 확률이 \(p\)와 다른 경우에도 유의하지 않은 결과를 쉽게 얻을 수 있습니다. 증거의 부재가 부재의 증거는 아닙니다. 데이터가 실제로 지지하는 것을 평가하려면 검정을 효과 추정값과 비율에 대한 신뢰도구간과 함께 사용하십시오.
정의 및 용어집
- 성공(k)
- 관심 결과를 보인 시행의 관찰된 횟수입니다. \(0 \le k \le n\)을 만족하는 정수입니다.
- 시행(n)
- 각각 동일한 성공 확률을 가진 독립적인 베르누이 시행의 총 개수입니다.
- 가설적 확률(p)
- 귀무가설 하에서 가정된 성공 확률이며, \(0 \le p \le 1\)입니다. 예를 들어 동전의 공정성은 \(p = 0.5\)에 해당합니다.
- 귀무가설(H₀)
- 검정 중인 기본 주장입니다: 참의 성공 확률이 \(p\)와 같으며, 즉 \(H_0:\, \pi = p\)입니다.
- 대립가설(H₁)
- H₀이 기각될 경우 받아들여지는 주장입니다: \(\pi \ne p\) (양측), 또는 \(\pi > p\) / \(\pi < p\) (단측)입니다.
- p-값
- H₀ 하에서 계산된, 관찰된 \(k\)보다 극단적인 결과를 얻을 확률입니다. 작은 값일수록 H₀에 대한 더 강한 증거를 제공합니다.
- 양측검정
- \(p\)로부터의 차이를 양방향에서 감지합니다. 관찰된 것과 같거나 덜 우도 있는 모든 결과들의 확률을 합산합니다.
- 단측검정
- 미리 정해진 한 방향에서의 차이를 감지합니다.
- 기댓값(np)
- H₀ 하에서 기대되는 성공의 개수이며, \(np\)입니다. \(k\)를 \(np\)와 비교하면 편차의 방향과 대략적인 크기를 알 수 있습니다.
- 유의수준(알파)
- p-값이 판단되는 미리 선택된 임계값 \(\alpha\) (일반적으로 0.05 또는 0.01)입니다. 제1종 오류의 최대 허용 확률입니다.
자주 묻는 질문
z-검정 대신 정확검정을 언제 써야 하나요? 표본 크기 \(n\)이 작거나 기대 빈도가 낮아 정규근사가 신뢰하기 어려울 때는 정확 이항검정을 사용하세요.
p값이 작다는 것은 무슨 뜻인가요? p값이 작다는 것(예: 0.05 미만)은 가정한 확률 아래에서 관측된 횟수가 나타나기 어렵다는 의미이며, 그 가설에 반하는 근거가 됩니다.
양측 p값이 단측 값의 2배와 다를 수 있는 이유는? 정확 양측검정은 확률 기준으로 최소한 같거나 더 극단적인 모든 결과의 확률을 합하기 때문에, 분포가 비대칭일 때는 작은 쪽 꼬리 확률의 단순한 2배가 되지 않는 경우가 많습니다.
