Что такое точный биномиальный тест?
Точный биномиальный тест проверяет, согласуется ли число успехов, наблюдаемое в фиксированном количестве независимых испытаний типа «да/нет», с предполагаемой вероятностью успеха. В отличие от нормального приближения, он вычисляет p-value напрямую из биномиального распределения, поэтому остаётся точным даже на малых выборках. Этот инструмент универсален: он подходит для любого бинарного эксперимента — подбрасывания монеты, конверсии, подсчёта брака или данных «прошёл/не прошёл».
Как пользоваться калькулятором
Введите число успехов k, общее число испытаний n и предполагаемую вероятность успеха p (от 0 до 1). Калькулятор выдаст двустороннее p-value, вероятность наблюдаемого результата, ожидаемое число успехов, а также оба односторонних p-value.
Разбираем формулу
Каждый исход \(x\) имеет вероятность $$P(X = x) = \binom{\text{n}}{x}\, \text{p}^{\,x}\,\bigl(1-\text{p}\bigr)^{\text{n}-x}$$ Двустороннее p-value складывает вероятности всех исходов, которые настолько же маловероятны или менее вероятны, чем фактически наблюдаемый (\(P(x) \le P(k)\)). $$p\text{-value} = \sum_{x:\,P(X=x)\,\le\,P(X=k)} P(X = x)$$ Одностороннее нижнее p-value равно \(P(X \le k)\), а верхнее — \(P(X \ge k)\).
Разбор примера
Допустим, вы подбросили монету 10 раз и получили 8 орлов, проверяя гипотезу о том, что монета честная (\(p = 0{,}5\)). Вероятность ровно 8 орлов равна $$\binom{10}{8}\cdot 0{,}5^{10} = \frac{45}{1024} \approx 0{,}043945$$ В силу симметрии одинаково или менее вероятные исходы — это 0, 1, 2, 8, 9 и 10 орлов. Их суммарная вероятность составляет $$2\cdot\frac{1+10+45}{1024} = \frac{112}{1024} \approx 0{,}109375$$ — это и есть двустороннее p-value. Поскольку оно превышает 0,05, отвергать гипотезу о честности монеты нет оснований.
Частые вопросы
Когда использовать точный тест вместо z-теста? Применяйте точный биномиальный тест всегда, когда n мало или ожидаемые частоты невелики — в этих случаях нормальное приближение ненадёжно.
Что означает маленькое p-value? Небольшое p-value (например, меньше 0,05) говорит о том, что наблюдаемый результат маловероятен при заданной вероятности, и это свидетельствует против гипотезы.
Почему двустороннее p-value может отличаться от удвоенного одностороннего? Точный двусторонний тест суммирует вероятности всех исходов, как минимум столь же экстремальных по вероятности, и это не всегда равно удвоенному меньшему «хвосту», особенно при асимметричном распределении.
Интерпретация результата
Точный биномиальный тест сравнивает наблюдаемое количество успехов \(k\) в \(n\) независимых испытаниях с гипотетической вероятностью успеха \(p\). P-значение отвечает на один вопрос: если нулевая гипотеза была бы верна, насколько вероятен исход, по крайней мере такой же экстремальный, как наблюдаемый?
Двусторонний и односторонний тесты
Двусторонний p-значение проверяет, отличается ли истинная вероятность от \(p\) в любом направлении. Оно суммирует вероятности всех исходов, вероятность которых меньше или равна вероятности наблюдаемого \(k\) (метод, используемый этим калькулятором и функцией binom.test в R). Используйте его, когда у вас нет предварительных причин ожидать высокий или низкий результат.
Односторонний p-значение проверяет направленное утверждение — например, «истинная вероятность больше \(p\)». Оно суммирует вероятности только в указанном хвосте распределения. Одностороннее p-значение примерно в два раза меньше двустороннего значения, поэтому выберите направление до просмотра данных, никогда после.
Уровень значимости (альфа)
Порог \(\alpha\) — это уровень ложноположительных результатов, который вы готовы допустить. Распространённые выборы — это \(\alpha = 0,05\) и более строгий \(\alpha = 0,01\). Вы сравниваете p-значение с \(\alpha\):
- Если p-значение \(\le \alpha\): отклонить нулевую гипотезу — данные настолько несовместимы с \(p\), что их можно назвать статистически значимыми.
- Если p-значение \(> \alpha\): не отклонять нулевую гипотезу — данные совместимы с \(p\).
Что означает и не означает «не отклонять»
«Не отклонять» означает только то, что у вас недостаточно доказательств против нулевой гипотезы. Это не доказывает, что нулевая гипотеза верна. Малая выборка может легко дать незначимый результат даже когда истинная вероятность отличается от \(p\); отсутствие доказательств не является доказательством отсутствия. Чтобы оценить, что поддерживают данные, дополните тест оценкой эффекта и доверительным интервалом для доли.
Определения и словарь
- Успехи (k)
- Наблюдаемое количество испытаний с интересующим результатом. Целое число с \(0 \le k \le n\).
- Испытания (n)
- Общее количество независимых испытаний Бернулли, каждое с одинаковой вероятностью успеха.
- Гипотетическая вероятность (p)
- Вероятность успеха, предполагаемая при нулевой гипотезе, \(0 \le p \le 1\). Например, справедливость монеты соответствует \(p = 0,5\).
- Нулевая гипотеза (H₀)
- Утверждение по умолчанию, которое проверяется: истинная вероятность успеха равна \(p\), то есть \(H_0:\, \pi = p\).
- Альтернативная гипотеза (H₁)
- Утверждение, принимаемое, если H₀ отклонена: \(\pi \ne p\) (двусторонний), или \(\pi > p\) / \(\pi < p\) (односторонний).
- P-значение
- Вероятность, вычисленная при H₀, получить результат, по крайней мере такой же экстремальный, как наблюдаемый \(k\). Меньшие значения дают более сильные доказательства против H₀.
- Двусторонний тест
- Обнаруживает различие от \(p\) в любом направлении путём суммирования всех исходов, не более вероятных, чем наблюдаемый.
- Односторонний тест
- Обнаруживает различие в одном, заранее указанном направлении.
- Ожидаемое количество (np)
- Количество успехов, ожидаемое при H₀, \(np\). Сравнение \(k\) с \(np\) показывает направление и приблизительный размер отклонения.
- Уровень значимости (альфа)
- Заранее выбранный порог \(\alpha\) (обычно 0,05 или 0,01), по которому судится p-значение; это максимальная приемлемая вероятность ошибки первого рода.
