ما هو الاختبار الثنائي الدقيق؟
يختبر الاختبار الثنائي الدقيق ما إذا كان عدد النجاحات الملاحظة في عدد ثابت من المحاولات المستقلة من نوع «نعم/لا» متوافقًا مع احتمال نجاح مفترض. وعلى عكس التقريب الطبيعي، فإنه يحسب القيمة الاحتمالية p مباشرةً من التوزيع الثنائي (ذي الحدين)، ولذلك يبقى دقيقًا حتى مع العينات الصغيرة. هذه الأداة عامة وتنطبق على أي تجربة ثنائية مثل رميات العملة، ومعدلات التحويل، وأعداد العيوب، أو بيانات النجاح/الفشل.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل عدد النجاحات k، والعدد الإجمالي للمحاولات n، واحتمال النجاح المفترض p (بين 0 و1). تُرجع الحاسبة القيمة الاحتمالية p ثنائية الاتجاه، واحتمال العدد الملاحظ، والعدد المتوقع للنجاحات، وكلتا القيمتين الاحتماليتين أحاديتي الاتجاه.
شرح المعادلة
كل ناتج \(x\) له احتمال
$$P(X = x) = \binom{\text{n}}{x}\, \text{p}^{\,x}\,\bigl(1-\text{p}\bigr)^{\text{n}-x}$$تجمع القيمة الاحتمالية p ثنائية الاتجاه احتمالات كل ناتج يكون احتماله مساويًا أو أقل من احتمال الناتج الملاحظ فعليًا (\(P(x) \le P(k)\)).
$$p\text{-value} = \sum_{x\,:\,P(X=x)\,\le\,P\left(X=\text{k}\right)} P(X = x)$$أما القيمة الاحتمالية أحادية الاتجاه السفلية فهي
$$P\!\left(X \le \text{k}\right) = \sum_{x=0}^{\text{k}} \binom{\text{n}}{x}\, \text{p}^{\,x}\,\bigl(1-\text{p}\bigr)^{\text{n}-x}$$والعلوية هي
$$P\!\left(X \ge \text{k}\right) = \sum_{x=\text{k}}^{\text{n}} \binom{\text{n}}{x}\, \text{p}^{\,x}\,\bigl(1-\text{p}\bigr)^{\text{n}-x}$$
مثال تطبيقي
لنفترض أنك رميت عملة 10 مرات وحصلت على 8 صور (heads)، واختبرت ما إذا كانت العملة عادلة (\(p = 0.5\)). احتمال الحصول على 8 صور بالضبط هو
$$\binom{10}{8}\cdot 0.5^{10} = \frac{45}{1024} \approx 0.043945$$وبفضل التماثل، تكون النواتج المساوية أو الأقل احتمالًا هي 0 و1 و2 و8 و9 و10 صور. ومجموع احتمالاتها هو
$$2\cdot\frac{(1+10+45)}{1024} = \frac{112}{1024} \approx 0.109375$$وهي القيمة الاحتمالية p ثنائية الاتجاه. وبما أن هذه القيمة تتجاوز 0.05، فلن ترفض فرضية أن العملة عادلة.
تفسير النتيجة
يقارن اختبار ذات الحدين الدقيق عدد النجاحات المرصودة \(k\) في \(n\) محاولة مستقلة مقابل احتمالية نجاح مفترضة \(p\). تجيب قيمة p على سؤال واحد: إذا كانت الفرضية الصفرية صحيحة، فما مدى احتمالية الحصول على نتيجة متطرفة على الأقل مثل النتيجة التي لاحظتها؟
ثنائي الاتجاه مقابل أحادي الاتجاه
تختبر قيمة p ثنائية الاتجاه ما إذا كان الاحتمال الحقيقي يختلف عن \(p\) في أي اتجاه. وتجمع احتمالات جميع النتائج التي يكون احتمالها أقل من أو مساوياً لاحتمال \(k\) المرصود (الطريقة المستخدمة من قبل هذه الآلة الحاسبة وبواسطة دالة R binom.test). استخدمها عندما لا يكون لديك سبب مسبق للتوقع نتيجة عالية أو منخفضة.
تختبر قيمة p أحادية الاتجاه مطالبة اتجاهية — على سبيل المثال "الاحتمال الحقيقي أكبر من \(p\)." وتجمع الاحتمالات فقط في الذيل الذي حددته. قيمة p أحادية الاتجاه تكون تقريباً نصف القيمة الثنائية الاتجاه، لذلك اختر الاتجاه قبل رؤية البيانات، وليس بعدها.
مستوى الدلالة (ألفا)
الحد الأدنى \(\alpha\) هو معدل الإيجابيات الكاذبة الذي أنت على استعداد لتحمله. الاختيارات الشائعة هي \(\alpha = 0.05\) و\(\alpha = 0.01\) الأشد صرامة. تقارن قيمة p بـ \(\alpha\):
- إذا كانت قيمة p \(\le \alpha\): ارفض الفرضية الصفرية — البيانات غير متسقة بشكل كافٍ مع \(p\) لتسمى ذات دلالة إحصائية.
- إذا كانت قيمة p \(> \alpha\): فشل في رفض الفرضية الصفرية — البيانات متوافقة مع \(p\).
ما يعنيه "الفشل في الرفض" وما لا يعنيه
"الفشل في الرفض" يعني فقط أنك تفتقر إلى أدلة كافية ضد الفرضية الصفرية. إنها لا تثبت أن الفرضية الصفرية صحيحة. عينة صغيرة يمكنها بسهولة أن تنتج نتيجة غير مهمة حتى عندما يختلف الاحتمال الحقيقي عن \(p\)؛ غياب الأدلة ليس دليلاً على الغياب. لقياس ما تدعمه البيانات فعلاً، اجمع الاختبار مع تقدير التأثير وفترة ثقة للنسبة.
التعاريف والمصطلحات
- النجاحات (k)
- العدد المرصود للمحاولات مع النتيجة المهمة. عدد صحيح حيث \(0 \le k \le n\).
- المحاولات (n)
- العدد الإجمالي للمحاولات برنولي المستقلة، كل منها لها نفس احتمالية النجاح.
- الاحتمالية المفترضة (p)
- احتمالية النجاح المفترضة بموجب الفرضية الصفرية، \(0 \le p \le 1\). على سبيل المثال، عدالة عملة تقابل \(p = 0.5\).
- الفرضية الصفرية (H₀)
- المطالبة الافتراضية التي يتم اختبارها: احتمالية النجاح الحقيقية تساوي \(p\)، أي \(H_0:\, \pi = p\).
- الفرضية البديلة (H₁)
- المطالبة المقبولة إذا تم رفض H₀: \(\pi \ne p\) (ثنائية الاتجاه)، أو \(\pi > p\) / \(\pi < p\) (أحادية الاتجاه).
- قيمة p
- الاحتمال، المحسوب تحت H₀، للحصول على نتيجة متطرفة على الأقل مثل \(k\) المرصودة. القيم الأصغر توفر أدلة أقوى ضد H₀.
- اختبار ثنائي الاتجاه
- يكتشف الفرق عن \(p\) في أي اتجاه بجمع جميع النتائج ذات الاحتمالية أقل من أو مساوية للنتيجة المرصودة.
- اختبار أحادي الاتجاه
- يكتشف الفرق في اتجاه واحد محدد مسبقاً.
- العدد المتوقع (np)
- عدد النجاحات المتوقع تحت H₀، \(np\). مقارنة \(k\) بـ \(np\) تظهر الاتجاه والحجم التقريبي للانحراف.
- مستوى الدلالة (ألفا)
- الحد الأدنى المختار مسبقاً \(\alpha\) (عادة 0.05 أو 0.01) التي تُحكم عليها قيمة p؛ إنه أقصى احتمال مقبول لخطأ من النوع الأول.
الأسئلة الشائعة
متى ينبغي استخدام الاختبار الدقيق بدلًا من اختبار z؟ استخدم الاختبار الثنائي الدقيق كلما كان \(n\) صغيرًا أو كانت الأعداد المتوقعة منخفضة، حيث يكون التقريب الطبيعي غير موثوق.
ماذا تعني القيمة الاحتمالية p الصغيرة؟ القيمة الصغيرة (أقل من 0.05 مثلًا) تشير إلى أن العدد الملاحظ غير محتمل في ظل الاحتمال المفترض، مما يقدّم دليلًا ضده.
لماذا قد تختلف القيمة الاحتمالية ثنائية الاتجاه عن مضاعفة القيمة أحادية الاتجاه؟ يجمع الاختبار الدقيق ثنائي الاتجاه احتمالات جميع النواتج التي لا يقل تطرفها (حسب الاحتمال) عن الناتج الملاحظ، وهذا لا يساوي دائمًا ضعف الطرف الأصغر عندما يكون التوزيع غير متماثل (ملتويًا).
