Kesin Binom Testi Hesaplama Aracı (p-değeri)

Gözlenen sayının olasılığı	0,043945
Expected successes (n × p)	5
One-sided lower P(X ≤ k)	0,989258
One-sided upper P(X ≥ k)	0,054688

Kesin binom testi nedir?

Kesin binom testi, sabit sayıda bağımsız evet/hayır denemesinde gözlemlenen başarı sayısının, varsayılan bir başarı olasılığıyla tutarlı olup olmadığını değerlendirir. Normal yaklaşımdan farklı olarak p-değerini doğrudan binom dağılımından hesaplar; bu sayede küçük örneklemlerde bile isabetli sonuç verir. Bu araç evrenseldir — yazı tura atışları, dönüşüm oranları, kusur sayıları ya da geçti/kaldı verileri gibi her türlü ikili deneye uygulanabilir.

Bu hesaplama aracı nasıl kullanılır?

Başarı sayısını k, toplam deneme sayısını n ve varsayılan başarı olasılığını p (0 ile 1 arasında) girin. Araç size iki yönlü p-değerini, gözlenen sayının olasılığını, beklenen başarı sayısını ve her iki tek yönlü p-değerini döndürür.

Formülün açıklaması

Her x sonucunun olasılığı $P(X=x) = \binom{n}{x}\, p^{x}\, (1-p)^{n-x}$ şeklindedir. İki yönlü p-değeri, gerçekte gözlenen sonuç kadar veya ondan daha olası olmayan tüm sonuçların olasılıklarını toplar ($P(x) \le P(k)$). Tek yönlü alt p-değeri $P(X \le k)$, üst p-değeri ise $P(X \ge k)$ olarak hesaplanır.

$$P(X = x) = \binom{n}{x}\, p^{\,x}\,\bigl(1-p\bigr)^{n-x}$$$$p\text{-değeri} = \sum_{x:\,P(X=x)\,\le\,P(X=k)} P(X = x)$$

Reklam

İki taraflı p-değeri bölgesini göstermek için kuyruk çubukları gölgelendirilmiş binom dağılımı çubuk grafiği — İki taraflı p-değeri, gözlemlenen k sayısı kadar veya ondan daha düşük olasılıklı tüm sonuçların olasılıklarını toplar.

Çözümlü örnek

Diyelim ki bir parayı 10 kez attınız ve 8 kez tura geldi; paranın hilesiz olup olmadığını ($p = 0{,}5$) test etmek istiyorsunuz. Tam 8 tura gelme olasılığı $\binom{10}{8}\cdot 0{,}5^{10} = \frac{45}{1024} \approx 0{,}043945$'tir. Simetri gereği aynı ya da daha düşük olasılıklı sonuçlar 0, 1, 2, 8, 9, 10 turadır. Bunların toplam olasılığı $2\cdot\frac{(1+10+45)}{1024} = \frac{112}{1024} \approx 0{,}109375$ olup iki yönlü p-değerini verir. Bu değer 0,05'i aştığından, paranın hilesiz olduğu hipotezini reddetmezsiniz.

n denemeden k başarıyı temsil eden dolu ve boş dairelerden oluşan sıra — Binom testi, n denemedeki gözlemlenen k başarıyı varsayılan bir olasılıkla karşılaştırır.

Sonucunuzu Yorumlama

Kesin binom testi, $n$ bağımsız deneyde gözlemlenen başarı sayısı $k$ ile, varsayılan bir başarı olasılığı $p$ karşılaştırır. P-değeri tek bir soruya yanıt verir: boş hipotez doğru olsaydı, gözlemlediğiniz kadar uç bir sonucun olasılığı ne kadar olurdu?

İki yönlü ve tek yönlü

Bir iki yönlü p-değeri, gerçek olasılığın $p$ değerinden herhangi bir yönde farklı olup olmadığını test eder. Olabilirliği gözlemlenen $k$ değerinin olabilirliğinden küçük veya eşit olan tüm sonuçların olasılıklarını toplar (bu hesap makinesi ve R'nin binom.test tarafından kullanılan yöntem). Yüksek veya düşük bir sonuç beklemeniz için önceden bir nedeniniz olmadığında kullanın.

Bir tek yönlü p-değeri yönlü bir iddiayı test eder — örneğin "gerçek olasılık $p$ değerinden daha büyüktür." Yalnızca belirttiğiniz kuyrukta olasılıkları toplar. Tek yönlü p-değeri, iki yönlü değerin kabaca yarısıdır, bu nedenle yönü verileri görmeden önce seçin, asla sonra değil.

Anlamlılık düzeyi (alfa)

$\alpha$ eşiği, tolere etmeye istekli olduğunuz yanlış pozitif oranıdır. Yaygın seçimler $\alpha = 0,05$ ve daha katı $\alpha = 0,01$ değerleridir. P-değerini $\alpha$ ile karşılaştırırsınız:

P-değeri $\le \alpha$ ise: boş hipotezi reddedin — veriler istatistiksel olarak anlamlı olarak adlandırılacak kadar $p$ ile tutarsızdır.
P-değeri $> \alpha$ ise: boş hipotezi reddetmeyi başarısız kılın — veriler $p$ ile uyumludur.

"Reddetmeyi başarısız kıl"ın ne anlama geldiği ve gelmediği

"Reddetmeyi başarısız kıl" yalnızca boş hipoteze karşı yeterli kanıtın eksik olduğunuz anlamına gelir. Bu, boş hipotezin doğru olduğunu kanıtlamaz. Küçük bir örnek, gerçek olasılık $p$ değerinden farklı olsa bile, kolayca önemsiz olmayan bir sonuç üretebilir; kanıt eksikliği, yokluğun kanıtı değildir. Verilerin ne kadar desteklediğini değerlendirmek için, testi bir etki tahmini ve oran için bir güven aralığı ile eşleştirin.

Reklam

Tanımlar ve Sözlük

Başarılar (k): İlgi konusu olan sonucu gösteren deney sayısının gözlemlenen sayısı. $0 \le k \le n$ olan bir tam sayı.
Denemeler (n): Toplam bağımsız Bernoulli deney sayısı, her birinin aynı başarı olasılığı.
Varsayılan olasılık (p): Boş hipotez altında varsayılan başarı olasılığı, $0 \le p \le 1$. Örneğin, bir para atışının adaleti $p = 0,5$ değerine karşılık gelir.
Boş hipotez (H₀): Test edilen varsayılan iddia: gerçek başarı olasılığı $p$ değerine eşittir, yani $H_0:\, \pi = p$.
Alternatif hipotez (H₁): H₀ reddedilirse kabul edilen iddia: $\pi \ne p$ (iki yönlü), veya $\pi > p$ / $\pi < p$ (tek yönlü).
P-değeri: H₀ altında hesaplanan, gözlemlenen $k$ kadar uç olan bir sonuç elde etme olasılığı. Daha küçük değerler H₀'a karşı daha güçlü kanıt verir.
İki yönlü test: Gözlemlenen olandan daha olası olmayan tüm sonuçları toplayarak $p$ değerinden herhangi bir yöndeki farkı algılar.
Tek yönlü test: Önceden belirtilen bir tek yöndeki farkı algılar.
Beklenen sayı (np): H₀ altında beklenen başarı sayısı, $np$. $k$ ile $np$ karşılaştırması sapmanın yönünü ve kabaca boyutunu gösterir.
Anlamlılık düzeyi (alfa): P-değerinin karşılaştırıldığı önceden seçilen eşik $\alpha$ (yaygın olarak 0,05 veya 0,01); Tip I hatasının maksimum kabul edilebilir olasılığıdır.

Sıkça sorulan sorular

Z-testi yerine kesin testi ne zaman kullanmalıyım? Normal yaklaşımın güvenilir olmadığı durumlarda, yani n küçük olduğunda ya da beklenen sayılar düşük olduğunda kesin binom testini kullanın.

Küçük bir p-değeri ne anlama gelir? Küçük bir p-değeri (örneğin 0,05'in altında), gözlenen sayının varsayılan olasılık altında pek olası olmadığını ve bu hipoteze karşı kanıt oluşturduğunu gösterir.

İki yönlü p-değeri neden tek yönlü değerin iki katından farklı olabilir? Kesin iki yönlü test, olasılık bakımından en az gözlenen kadar uç olan tüm sonuçların olasılıklarını toplar; dağılım çarpık olduğunda bu, daha küçük kuyruğun her zaman iki katı olmaz.