什么是精确二项检验？
精确二项检验用来判断：在固定次数的独立"是/否"试验中观察到的成功次数，是否与某个假设的成功概率相符。与正态近似不同，它直接基于二项分布来计算 p 值，因此即使样本量很小，结果依然准确。这个工具具有普遍适用性——任何二元试验都能用，比如抛硬币、转化率、缺陷数量，或者合格/不合格类型的数据。
如何使用本计算器
输入成功次数 k、试验总次数 n，以及假设的成功概率 p（取值在 0 到 1 之间）。计算器会返回双侧 p 值、观察到该成功次数的概率、期望成功次数，以及两个单侧 p 值。
公式详解
每一种结果 \(x\) 出现的概率为 $$P(X = x) = \binom{\text{n}}{x}\, \text{p}^{\,x}\,\bigl(1-\text{p}\bigr)^{\text{n}-x}$$ 双侧 p 值会把所有"出现概率不高于实际观察结果"（即 \(P(x) \le P(k)\)）的结果概率全部加总。$$p\text{-value} = \sum_{x\,:\,P(X=x)\,\le\,P\left(X=\text{k}\right)} P(X = x)$$ 单侧下尾 p 值为 $$P\!\left(X \le \text{k}\right) = \sum_{x=0}^{\text{k}} \binom{\text{n}}{x}\, \text{p}^{\,x}\,\bigl(1-\text{p}\bigr)^{\text{n}-x}$$ 单侧上尾 p 值为 $$P\!\left(X \ge \text{k}\right) = \sum_{x=\text{k}}^{\text{n}} \binom{\text{n}}{x}\, \text{p}^{\,x}\,\bigl(1-\text{p}\bigr)^{\text{n}-x}$$
实例演算
假设你抛一枚硬币 10 次，得到 8 次正面，想检验这枚硬币是否公平（\(p = 0.5\)）。恰好出现 8 次正面的概率为 $$\binom{10}{8}\cdot 0.5^{10} = \frac{45}{1024} \approx 0.043945$$ 由对称性可知，与之概率相等或更低的结果是 0、1、2、8、9、10 次正面。它们的总概率为 $$2\cdot\frac{1+10+45}{1024} = \frac{112}{1024} \approx 0.109375$$ 这就是双侧 p 值。由于该值大于 0.05，因此不能拒绝"硬币是公平的"这一假设。
解释您的结果
精确二项检验将观察到的成功次数 \(k\) 在 \(n\) 次独立试验中与假设的成功概率 \(p\) 进行比较。p值回答一个单一问题：如果零假设为真，您观察到的结果至少与此一样极端的概率是多少？
双尾与单尾
双尾 p值检验真实概率是否在任何方向上与 \(p\) 不同。它汇总所有似然性小于或等于观察到的 \(k\) 的结果的概率（此计算器和R的 binom.test 使用的方法）。当您没有先前的理由期望高或低的结果时使用它。
单尾 p值检验方向性声明——例如"真实概率大于 \(p\)"。它仅在您指定的尾部中汇总概率。单尾p值大约是双尾值的一半，所以在查看数据之前选择方向，绝不要之后选择。
显著性水平（alpha）
阈值 \(\alpha\) 是您愿意容忍的假阳性率。常见选择是 \(\alpha = 0.05\) 和更严格的 \(\alpha = 0.01\)。您将p值与 \(\alpha\) 进行比较：
- 如果p值 \(\le \alpha\)：拒绝零假设——数据与 \(p\) 的不一致足以称为统计显著。
- 如果p值 \(> \alpha\)：未能拒绝零假设——数据与 \(p\) 兼容。
"未能拒绝"的含义与不含义
"未能拒绝"仅表示您缺乏反对零假设的充分证据。它不证明零假设为真。小样本即使在真实概率与 \(p\) 不同时也很容易产生无显著结果；缺乏证据并不是没有证据的证据。要了解数据确实支持什么，请将检验与效应估计和比例置信区间配对。
定义和术语表
- 成功次数 (k)
- 观察到的具有感兴趣结果的试验计数。一个整数，其中 \(0 \le k \le n\)。
- 试验 (n)
- 独立伯努利试验的总数，每次具有相同的成功概率。
- 假设概率 (p)
- 在零假设下假设的成功概率，\(0 \le p \le 1\)。例如，硬币的公平性对应于 \(p = 0.5\)。
- 零假设 (H₀)
- 被测试的默认声明：真实成功概率等于 \(p\)，即 \(H_0:\, \pi = p\)。
- 备择假设 (H₁)
- 如果拒绝H₀则接受的声明：\(\pi \ne p\)（双尾）或 \(\pi > p\) / \(\pi < p\)（单尾）。
- p值
- 在H₀下计算的获得至少与观察到的 \(k\) 一样极端结果的概率。较小的值对H₀提供更强的证据。
- 双尾检验
- 通过汇总不超过观察到的概率的所有结果来检测任何方向与 \(p\) 的差异。
- 单尾检验
- 在单个预先指定的方向中检测差异。
- 期望计数 (np)
- 在H₀下期望的成功次数，\(np\)。将 \(k\) 与 \(np\) 进行比较显示偏离的方向和大约大小。
- 显著性水平 (alpha)
- 预先选择的截止值 \(\alpha\)（通常为0.05或0.01），p值将与其进行比较；它是第一类错误的最大可接受概率。
常见问题
什么时候该用精确检验而不是 z 检验？当 n 较小或期望计数较低、正态近似不再可靠时，就应该使用精确二项检验。
p 值很小说明什么？p 值很小（例如低于 0.05）说明在假设概率下出现该成功次数的可能性很低，这构成了反对该假设的证据。
为什么双侧 p 值不一定等于单侧值的两倍？精确双侧检验是把所有"概率上至少同样极端"的结果加总。当分布偏斜时，这个总和并不总是较小一侧尾部概率的两倍。
