什麼是精確二項檢定？
精確二項檢定用來判斷：在固定次數、彼此獨立的「是／否」試驗中，觀察到的成功次數是否符合某個假設的成功機率。和常態近似（normal approximation）不同，它直接從二項分配計算 p 值，因此即使樣本數很小也能維持準確。這項工具具有通用性，適用於任何二元實驗，例如擲硬幣、轉換率、不良品數量，或合格／不合格資料。
如何使用本計算機
輸入成功次數 k、試驗總次數 n，以及假設的成功機率 p（介於 0 與 1 之間）。計算機會回傳雙尾 p 值、觀察到該次數的機率、期望成功次數，以及兩個單尾 p 值。
公式說明
每一種結果 \(x\) 的機率為 $$P(X = x) = \binom{\text{n}}{x}\, \text{p}^{\,x}\,\bigl(1-\text{p}\bigr)^{\text{n}-x}$$ 雙尾 p 值會把所有「發生機率小於或等於實際觀察值」的結果機率全部加總（即 \(P(x) \le P(k)\)）。 $$p\text{-value} = \sum_{x\,:\,P(X=x)\,\le\,P\left(X=\text{k}\right)} P(X = x)$$ 單尾下側 p 值為 $$P\!\left(X \le \text{k}\right) = \sum_{x=0}^{\text{k}} \binom{\text{n}}{x}\, \text{p}^{\,x}\,\bigl(1-\text{p}\bigr)^{\text{n}-x}$$ 單尾上側 p 值則為 $$P\!\left(X \ge \text{k}\right) = \sum_{x=\text{k}}^{\text{n}} \binom{\text{n}}{x}\, \text{p}^{\,x}\,\bigl(1-\text{p}\bigr)^{\text{n}-x}$$
實例演算
假設你擲硬幣 10 次，出現 8 次正面，想檢定這枚硬幣是否公正（\(p = 0.5\)）。恰好出現 8 次正面的機率為 $$C(10,8)\cdot 0.5^{10} = \frac{45}{1024} \approx 0.043945$$ 由於分配對稱，機率「同樣低或更低」的結果為 0、1、2、8、9、10 次正面。它們的機率總和為 $$2\cdot\frac{1+10+45}{1024} = \frac{112}{1024} \approx 0.109375$$ 即雙尾 p 值。由於此值大於 0.05，因此不會拒絕「硬幣公正」的假設。
解釋您的結果
精確二項檢驗將觀察到的 \(n\) 次獨立試驗中的成功次數 \(k\) 與假定的成功機率 \(p\) 進行比較。P 值回答了一個簡單的問題：如果零假設為真，出現至少與您觀察到的結果一樣極端的結果的可能性有多大？
雙側與單側
雙側 P 值測試真實機率是否在任何方向上與 \(p\) 不同。它將所有似然度小於或等於觀察到的 \(k\) 的結果的機率相加（此計算器和 R 的 binom.test 使用的方法）。當您沒有先前的理由預期高或低結果時，請使用此方法。
單側 P 值測試定向聲明 — 例如「真實機率大於 \(p\)」。它只在您指定的尾部求和機率。單側 P 值大約是雙側值的一半，因此請在看到資料之前選擇方向，絕不要在之後選擇。
顯著性水準 (Alpha)
閾值 \(\alpha\) 是您願意容忍的假正例率。常見選擇是 \(\alpha = 0.05\) 和更嚴格的 \(\alpha = 0.01\)。您將 P 值與 \(\alpha\) 進行比較：
- 如果 P 值 \(\le \alpha\)：拒絕零假設 — 資料與 \(p\) 的不一致性足以稱為統計上顯著。
- 如果 P 值 \(> \alpha\)：未能拒絕零假設 — 資料與 \(p\) 相容。
「未能拒絕」的含義與不含義
「未能拒絕」只意味著您缺乏針對零假設的充分證據。它不能證明零假設為真。即使真實機率與 \(p\) 不同，小樣本也可以輕鬆產生非顯著結果；證據的缺乏不是不存在的證據。為了衡量資料確實支持的內容，請將檢驗與效果估計和比例的信賴區間配對。
定義與詞彙表
- 成功次數 (k)
- 具有感興趣結果的試驗的觀察計數。整數，其中 \(0 \le k \le n\)。
- 試驗次數 (n)
- 獨立伯努利試驗的總數，每次具有相同的成功機率。
- 假定的機率 (p)
- 零假設下假定的成功機率，\(0 \le p \le 1\)。例如，硬幣的公正性對應於 \(p = 0.5\)。
- 零假設 (H₀)
- 被測試的預設聲明：真實成功機率等於 \(p\)，即 \(H_0:\, \pi = p\)。
- 對立假設 (H₁)
- 如果 H₀ 被拒絕則接受的聲明：\(\pi \ne p\)（雙側），或 \(\pi > p\) / \(\pi < p\)（單側）。
- P 值
- 在 H₀ 下計算的獲得至少與觀察到的 \(k\) 一樣極端的結果的機率。較小的值提供了針對 H₀ 的更強證據。
- 雙側檢驗
- 通過對所有不超過觀察到的結果可能性的結果求和，檢測到任何方向上與 \(p\) 的偏差。
- 單側檢驗
- 檢測單個預先指定方向的偏差。
- 預期計數 (np)
- 在 H₀ 下預期的成功次數，\(np\)。將 \(k\) 與 \(np\) 進行比較可顯示偏差的方向和大致規模。
- 顯著性水準 (Alpha)
- 預先選擇的截止 \(\alpha\)（通常為 0.05 或 0.01），對此進行 P 值判斷；它是第一類錯誤的最大可接受機率。
常見問題
什麼時候該用精確檢定而非 z 檢定？當 n 很小或期望次數偏低時，常態近似並不可靠，這時就應改用精確二項檢定。
p 值很小代表什麼？較小的 p 值（例如低於 0.05）表示在假設機率下，觀察到的次數不太可能發生，因此提供了反對該假設的證據。
為什麼雙尾 p 值不一定等於單尾值的兩倍？精確的雙尾檢定是把所有「依機率而言至少同樣極端」的結果加總，而當分配呈偏態時，這個值並不總是較小尾端的兩倍。
