什麼是二項式展開計算機？
這個計算機運用二項式定理，展開並計算任何形如 \((a + b)^{n}\) 的式子，其中 \(n\) 為非負整數。它會回傳整個算式的數值結果、展開後的項數，以及每一項的符號結構。這是一個通用的數學工具，沒有任何地區或國家的限制，全球通用。
使用方法
輸入第一項 a、第二項 b，以及指數 n（0 到 20）。a 與 b 都可以是正數、負數或分數。按下計算後即可看到結果。由於數值是依據二項式係數逐項計算而得，您可以對照畫面上顯示的各項結構，手動驗證每一項的部分結果。
公式解說
二項式定理告訴我們，\((a + b)^{n}\) 等於從 \(k = 0\) 到 \(n\) 的總和 \(\binom{n}{k}\cdot a^{n-k}\cdot b^{k}\)。
$$\left(a + b\right)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\, a^{\,n-k}\, b^{\,k}$$其中係數 \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}\)，代表從 \(n\) 個物件中選出 \(k\) 個的組合數，而這些係數正好構成巴斯卡三角形（Pascal's triangle）的每一列。展開式恆有 \(n + 1\) 項，a 的次方由 \(n\) 遞減到 0，b 的次方則由 0 遞增到 \(n\)。
實例演算
以 \((1 + 2)^{3}\) 為例：各項分別為 \(\binom{3}{0}\cdot 1^3\cdot 2^0 = 1\)、\(\binom{3}{1}\cdot 1^2\cdot 2^1 = 6\)、\(\binom{3}{2}\cdot 1^1\cdot 2^2 = 12\)，以及 \(\binom{3}{3}\cdot 1^0\cdot 2^3 = 8\)。加總後得到
$$1 + 6 + 12 + 8 = 27$$恰好等於 \(3^3 = 27\)，驗證了展開結果正確無誤。
帕斯卡三角形：按指数的二項式係數
帕斯卡三角形的每一行 \(n\) 列出二項式係數 \(\binom{n}{k}\)，其中 \(k = 0, 1, 2, \dots, n\)。這些正是 \((a+b)^n\) 展開式中出現的數值係數。沿著一行讀下去可以得到每一項的係數，從左邊的 \(a^n b^0\) 開始，到右邊的 \(a^0 b^n\) 結束。
| \(n\) | 二項式係數 \(\binom{n}{0},\,\binom{n}{1},\,\dots,\,\binom{n}{n}\) | 行和 \(2^n\) |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1, 1 | 2 |
| 2 | 1, 2, 1 | 4 |
| 3 | 1, 3, 3, 1 | 8 |
| 4 | 1, 4, 6, 4, 1 | 16 |
| 5 | 1, 5, 10, 10, 5, 1 | 32 |
| 6 | 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 | 64 |
| 7 | 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 | 128 |
| 8 | 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1 | 256 |
| 9 | 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1 | 512 |
| 10 | 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1 | 1024 |
每個元素都等於它上面兩個元素之和（例如，第 6 行的中間是 \(10 + 10 = 20\)）。第 6 行的中間係數也可以直接計算為 \(\binom{6}{3} = \) 20，而行總和 \(\sum_{k} \binom{n}{k} = 2^n\) 確認 \((a+b)^n\) 的展開式有 \(n+1\) 項。
更多的例題
每個展開式都使用 \((a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\,a^{\,n-k}\,b^{\,k}\) 並直接從帕斯卡三角形的相應行中提取係數。
例 1：\((x-2)^4\) — 交替符號
此處 \(a = x\)、\(b = -2\)、\(n = 4\)。帕斯卡三角形的第 4 行是 \(1, 4, 6, 4, 1\)。因為 \(b\) 是負數，\(-2\) 的冪次使符號交替變換：
- \(\binom{4}{0}x^4(-2)^0 = 1\cdot x^4 \cdot 1 = x^4\)
- \(\binom{4}{1}x^3(-2)^1 = 4\cdot x^3 \cdot(-2) = -8x^3\)
- \(\binom{4}{2}x^2(-2)^2 = 6\cdot x^2 \cdot 4 = 24x^2\)
- \(\binom{4}{3}x^1(-2)^3 = 4\cdot x \cdot(-8) = -32x\)
- \(\binom{4}{4}x^0(-2)^4 = 1\cdot 1 \cdot 16 = 16\)
合併：\((x-2)^4 = x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16\)。
例 2：\((2+3)^5\) — 完全數值化
此處 \(a = 2\)、\(b = 3\)、\(n = 5\)，第 5 行是 \(1, 5, 10, 10, 5, 1\)：
- \(\binom{5}{0}2^5 3^0 = 1\cdot 32\cdot 1 = 32\)
- \(\binom{5}{1}2^4 3^1 = 5\cdot 16\cdot 3 = 240\)
- \(\binom{5}{2}2^3 3^2 = 10\cdot 8\cdot 9 = 720\)
- \(\binom{5}{3}2^2 3^3 = 10\cdot 4\cdot 27 = 1080\)
- \(\binom{5}{4}2^1 3^4 = 5\cdot 2\cdot 81 = 810\)
- \(\binom{5}{5}2^0 3^5 = 1\cdot 1\cdot 243 = 243\)
將各項相加：\(32 + 240 + 720 + 1080 + 810 + 243 = \) 3125。作為檢驗，\((2+3)^5 = 5^5 = 3125\)。
例 3：\(\left(1+\tfrac{1}{2}\right)^3\) — 分數底數
此處 \(a = 1\)、\(b = \tfrac{1}{2}\)、\(n = 3\)，第 3 行等於 \(1, 3, 3, 1\)：
- \(\binom{3}{0}1^3\left(\tfrac{1}{2}\right)^0 = 1\cdot 1\cdot 1 = 1\)
- \(\binom{3}{1}1^2\left(\tfrac{1}{2}\right)^1 = 3\cdot 1\cdot\tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2}\)
- \(\binom{3}{2}1^1\left(\tfrac{1}{2}\right)^2 = 3\cdot 1\cdot\tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4}\)
- \(\binom{3}{3}1^0\left(\tfrac{1}{2}\right)^3 = 1\cdot 1\cdot\tfrac{1}{8} = \tfrac{1}{8}\)
將各項相加：\(1 + \tfrac{3}{2} + \tfrac{3}{4} + \tfrac{1}{8} = \tfrac{8+12+6+1}{8} = \tfrac{27}{8} = \) 3.375。這符合 \(\left(\tfrac{3}{2}\right)^3 = \tfrac{27}{8}\)。
主要術語與定義
- 二項式係數 \(\binom{n}{k}\)
- 展開式中每一項的乘數，讀作「n 取 k」。它計算從 \(n\) 個中選擇 \(k\) 個的方法數，計算方式為 \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)。例如，\(\binom{5}{2} = \) 10。
- 指數 \(n\)
- 二項式 \((a+b)\) 所被提升的整數次冪。它設定最高次冪並確定展開式恰好有 \(n+1\) 項。
- 項
- 展開結果的一個加數部分，形式為 \(\binom{n}{k}\,a^{\,n-k}\,b^{\,k}\)。單個項中 \(a\) 和 \(b\) 的指數總是相加得 \(n\)。
- 底數項 \(a\) 和 \(b\)
- 括號內被相加的兩個量。它們可以是數字、變數、分數或負值；例如在 \((x-2)^4\) 中，\(a = x\) 且 \(b = -2\)。
- 階乘 \(n!\)
- 所有正整數直至 \(n\) 的乘積：\(n! = n\times(n-1)\times\cdots\times 2\times 1\)，其中根據定義 \(0! = 1\)。例如，\(5! = \) 120。階乘是每個二項式係數公式的基礎。
- 帕斯卡三角形
- 一個三角形陣列，其中第 \(n\) 行列出係數 \(\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \dots, \binom{n}{n}\)。每個內部元素是它上面兩個元素之和，提供了一種快速讀取二項式係數的方法，而無需計算階乘。
常見問題
n 可以是分數或負數嗎？本計算機僅處理非負整數指數，因為這樣才能得到 \(n + 1\) 項的有限展開式。
a 與 b 可以是負數嗎？可以。舉例來說，\((a - b)^{n}\) 只要把 a 輸入為正數、b 輸入為負數即可，展開後便會出現正負交錯的符號。
指數最大可以到多少？\(n\) 上限設為 20，以確保數值計算穩定且結果便於閱讀。
