什麼是二項分布機率？
二項分布機率所計算的，是在固定的 n 次獨立試驗中，恰好出現 k 次成功的機率，其中每一次試驗的成功機率都相同，皆為 p。只要是在相同條件下重複進行的「成功／失敗」二選一實驗，都適用此公式——例如擲硬幣、罰球命中、生產線上的瑕疵品判定，或是問卷調查的回應比例。
計算機怎麼用？
請依序輸入試驗次數（n）、你想求機率的成功次數（k），以及每次試驗的成功機率（p，請以 0 到 1 之間的小數表示）。計算機會回傳精確的機率 \(P(X=k)\)、換算成百分比的數值，以及計算過程中使用到的二項式係數 \(C(n,k)\)。
公式解析
公式 $$P(X=k) = \binom{n}{k} \, p^{k} \left(1 - p\right)^{n - k}$$ 共分為三個部分。\(C(n,k)\) 代表在 n 次試驗中，k 次成功有幾種不同的排列組合方式；\(p^{k}\) 是這 k 次成功發生的機率；而 \((1-p)^{n-k}\) 則是剩下 n−k 次全部失敗的機率。三者相乘，即可得到恰好出現該成功次數的總機率。
實例演算
假設擲一枚公正硬幣 10 次（n=10，p=0.5），請問恰好出現 4 次正面（k=4）的機率是多少？由於 \(C(10,4) = 210\)，因此 $$P = 210 \times 0.5^{4} \times 0.5^{6} = 210 \times 0.5^{10} = \frac{210}{1024} \approx 0.2051$$ 約等於 20.51%。
如何手工計算二項概率
按照以下步驟計算任何有效輸入的 \(P(X=k) = \binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{n-k}\)。
- 驗證 \(k \le n\)。成功次數 \(k\) 不能超過試驗次數 \(n\)，且兩者都必須是非負整數。如果 \(k > n\)，則概率為 0。還要確認 \(0 \le p \le 1\)。
- 計算二項係數 \(\binom{n}{k}\)。使用 \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)。這用來計算在 \(n\) 次試驗中安排 \(k\) 次成功的不同方式數量。
- 將 \(p\) 提升到 \(k\) 次方。計算 \(p^{k}\)，即 \(k\) 次特定成功發生的概率。
- 將 \((1-p)\) 提升到 \(n-k\) 次方。計算 \((1-p)^{n-k}\)，即剩餘 \(n-k\) 次試驗全部失敗的概率。回想 \(q = 1-p\)。
- 將所有三個因子相乘。\(P(X=k) = \binom{n}{k} \times p^{k} \times (1-p)^{n-k}\)。結果是介於 0 和 1 之間的概率。
- 轉換為百分比（可選）。將概率乘以 100 以將其表示為百分比，例如 \(0.31146 \times 100 = 31.15\%\)。
已驗證的例子：對於 \(n=5,\,k=3,\,p=0.5\)：\(\binom{5}{3}=10\)，\(0.5^{3}=0.125\)，\(0.5^{2}=0.25\)，所以 \(P = 10 \times 0.125 \times 0.25 = \) 0.3125（31.25%）。
關鍵術語和變數
| 符號 | 名稱 | 含義 |
|---|---|---|
| \(n\) | 試驗次數 | 固定的獨立實驗或嘗試的總次數。 |
| \(k\) | 成功次數 | 成功結果的確切計數，即您想要其概率的計數；必須滿足 \(0 \le k \le n\)。 |
| \(p\) | 成功概率 | 任何單次試驗成功的概率；\(0 \le p \le 1\)。 |
| \(q\) | 失敗概率 | 單次試驗失敗的概率，\(q = 1 - p\)。 |
| \(\binom{n}{k}\) | 二項係數 | 從 \(n\) 次試驗中選擇 \(k\) 次成功的方式數量，\(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)；讀作「n 選 k」。 |
四項二項假設
只有當四個條件全部成立時，二項模型才有效：
- 試驗次數固定。\(n\) 的值事先設定且不會改變。
- 兩種可能的結果。每次試驗恰好產生兩種結果之一，慣例上標記為「成功」和「失敗」。
- 恆定的概率。成功概率 \(p\) 在每次試驗上都相同。
- 獨立的試驗。任何一次試驗的結果不會影響任何其他試驗的結果。
當這些條件成立時，成功次數 \(X\) 遵循二項分佈，寫作 \(X \sim \text{B}(n, p)\)。
常見問題
p 要填小數還是百分比？請填小數：例如 25% 的機率，應輸入為 0.25。
如果 k 大於 n 怎麼辦？這種情況不可能發生——成功次數不可能超過試驗總次數——因此機率為 0。
該如何求 \(P(X \le k)\) 或 \(P(X \ge k)\)？本工具計算的是「恰好等於某個數值」的機率。若想求累積機率，請將相關範圍內每個 i 的 \(P(X=i)\) 逐一加總即可。
