三維距離計算器

輸入計算

第 1 點 — X₁

第 1 點 — Y₁

第 1 點 — Z₁

第 2 點 — X₂

第 2 點 — Y₂

第 2 點 — Z₂

結果

兩點間的距離

13

單位

Δx（x₂ − x₁）	3
Δy（y₂ − y₁）	4
Δz（z₂ − z₁）	12

什麼是三維距離計算器？

三維距離計算器可求出三維空間中兩點之間的直線（歐幾里得）距離。只要輸入第 1 點 (x₁, y₁, z₁) 與第 2 點 (x₂, y₂, z₂) 的座標，就能算出連接這兩點的線段長度。這其實是把平面上的畢氏定理延伸到三維空間的結果，而且適用於任何單位——公尺、英尺、像素，甚至是抽象的單位都可以。

使用方法

分別輸入兩個點的 X、Y、Z 座標。座標可以是正數、負數或零，也接受小數。按下計算後，除了會顯示兩點之間的總距離，還會列出各軸的分量差 Δx、Δy、Δz，方便你逐一核對每個軸向的位移量。

公式說明

距離的計算方式為 $$d = \sqrt{\left(\text{X}_2 - \text{X}_1\right)^2 + \left(\text{Y}_2 - \text{Y}_1\right)^2 + \left(\text{Z}_2 - \text{Z}_1\right)^2}$$。每一項分別代表兩點在某一軸向上的差距。平方可消去正負號，相加則把三個互相垂直的位移量合在一起，最後再開平方根，把這些平方和還原成單一的長度——道理與二維平面上的畢氏定理完全相同。

三維距離是兩點間的直線，由它們在 x、y、z 軸上的差值求得。

實例演算

假設第 1 點為 (0, 0, 0)，第 2 點為 (3, 4, 12)。各軸的差為 \(\Delta x = 3\)、\(\Delta y = 4\)、\(\Delta z = 12\)。代入公式得 $$d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$$也就是說，這兩點之間恰好相距 13 個單位。

把距離分解為各軸上的差值，就能將三維問題轉化為畢氏定理。

常見問題

先輸入哪一點會有差別嗎？不會。距離具有對稱性，互換兩點後得到的結果完全相同，只有 Δx、Δy、Δz 的正負號會相反。

計算結果使用什麼單位？與你輸入座標的單位一致。如果你輸入的是公尺，算出來的距離就是公尺。

可以拿來算二維距離嗎？可以——只要把兩個點的 Z 值都設為 0，公式就會簡化成標準的二維距離公式。