Что такое биномиальная вероятность?
Биномиальная вероятность показывает шанс получить ровно k успехов в фиксированном количестве n независимых испытаний, где каждое испытание заканчивается успехом с одной и той же вероятностью p. Такая модель подходит для любого эксперимента с двумя исходами («да/нет»), повторяемого в одинаковых условиях, — подбрасывание монеты, штрафные броски в баскетболе, бракованные детали на конвейере или ответы респондентов в опросе.
Как пользоваться калькулятором
Введите число испытаний (n), количество успехов, для которого нужно найти вероятность (k), и вероятность успеха в одном испытании (p) в виде десятичной дроби от 0 до 1. Калькулятор выдаст точную вероятность \(P(X=k)\), это же значение в процентах, а также биномиальный коэффициент \(C(n,k)\), который участвует в расчёте.
Разбор формулы
Формула $$P(X=k) = \binom{n}{k} \, p^{k} \left(1 - p\right)^{n - k}$$ состоит из трёх частей. \(C(n,k)\) показывает, сколькими разными способами можно расположить k успехов среди n испытаний. Множитель \(p^{k}\) — это вероятность того, что эти k успехов произойдут, а \((1-p)^{n-k}\) — вероятность того, что все остальные n−k испытаний окажутся неудачными. Перемножив их, получаем итоговую вероятность именно для этого числа успехов.
Пример с решением
Подбросим честную монету 10 раз (n=10, p=0,5). Какова вероятность получить ровно 4 орла (k=4)? \(C(10,4) = 210\), поэтому $$P = 210 \times 0{,}5^{4} \times 0{,}5^{6} = 210 \times 0{,}5^{10} = \frac{210}{1024} \approx 0{,}2051,$$ то есть около 20,51%.
Частые вопросы
В каком виде вводить p — десятичной дробью или в процентах? Используйте десятичную дробь: вероятность 25% записывается как 0,25.
Что будет, если k больше n? Это невозможно — успехов не может быть больше, чем испытаний, — поэтому вероятность равна 0.
Как найти P(X ≤ k) или P(X ≥ k)? Этот калькулятор считает вероятность точного значения. Чтобы получить накопленную (кумулятивную) вероятность, сложите \(P(X=i)\) по всем значениям i из нужного диапазона.
Как вычислить биномиальную вероятность вручную
Выполните эти шаги для оценки \(P(X=k) = \binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{n-k}\) для любых допустимых входных данных.
- Проверьте \(k \le n\). Количество успехов \(k\) не может превышать количество испытаний \(n\), и оба должны быть неотрицательными целыми числами. Если \(k > n\), вероятность равна 0. Также убедитесь, что \(0 \le p \le 1\).
- Вычислите биномиальный коэффициент \(\binom{n}{k}\). Используйте \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\). Это считает количество различных способов расставить \(k\) успехов среди \(n\) испытаний.
- Возведите \(p\) в степень \(k\). Вычислите \(p^{k}\), вероятность того, что произойдут \(k\) конкретных успехов.
- Возведите \((1-p)\) в степень \(n-k\). Вычислите \((1-p)^{n-k}\), вероятность того, что оставшиеся \(n-k\) испытаний все будут неудачами. Вспомните, что \(q = 1-p\).
- Умножьте все три множителя. \(P(X=k) = \binom{n}{k} \times p^{k} \times (1-p)^{n-k}\). Результат — это вероятность между 0 и 1.
- Конвертируйте в процент (опционально). Умножьте вероятность на 100, чтобы выразить её в процентах, например \(0.31146 \times 100 = 31.15\%\).
Проверочный пример: для \(n=5,\,k=3,\,p=0.5\): \(\binom{5}{3}=10\), \(0.5^{3}=0.125\), \(0.5^{2}=0.25\), поэтому \(P = 10 \times 0.125 \times 0.25 = \) 0.3125 (31.25%).
Ключевые термины и переменные
| Символ | Название | Значение |
|---|---|---|
| \(n\) | Количество испытаний | Фиксированное общее количество независимых экспериментов или попыток. |
| \(k\) | Количество успехов | Точное число успешных результатов, вероятность которых вы хотите найти; должно удовлетворять условию \(0 \le k \le n\). |
| \(p\) | Вероятность успеха | Вероятность того, что любое одиночное испытание будет успешным; \(0 \le p \le 1\). |
| \(q\) | Вероятность неудачи | Вероятность неудачи в одном испытании, \(q = 1 - p\). |
| \(\binom{n}{k}\) | Биномиальный коэффициент | Количество способов выбрать \(k\) успехов из \(n\) испытаний, \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\); читается "n по k" или "число сочетаний из n по k". |
Четыре условия биномиального распределения
Биномиальная модель справедлива только если выполнены все четыре условия:
- Фиксированное количество испытаний. Значение \(n\) устанавливается заранее и не изменяется.
- Два возможных результата. Каждое испытание приводит ровно к одному из двух результатов, обычно называемых "успех" и "неудача".
- Постоянная вероятность. Вероятность успеха \(p\) одинакова в каждом испытании.
- Независимые испытания. Результат одного испытания не влияет на результат любого другого испытания.
Когда эти условия выполнены, количество успехов \(X\) следует биномиальному распределению, записываемому как \(X \sim \text{B}(n, p)\).
