Что такое количество диагоналей многоугольника?
Диагональ — это отрезок прямой, соединяющий две несоседние вершины многоугольника. Стороны соединяют соседние вершины, поэтому диагоналями они не считаются. Этот калькулятор точно определяет, сколько диагоналей у любого многоугольника, опираясь только на число его сторон (n).
Как пользоваться калькулятором
Введите число сторон вашего многоугольника — например, 3 для треугольника, 4 для четырёхугольника, 5 для пятиугольника и так далее. Калькулятор мгновенно покажет общее количество диагоналей. Число сторон должно быть не меньше 3, ведь из менее чем трёх сторон замкнутый многоугольник не построить.
Разбор формулы
Количество диагоналей вычисляется по формуле $$D = \frac{n(n - 3)}{2}$$. Каждая из \(n\) вершин может соединиться диагоналями с \(n - 3\) другими вершинами (исключаем саму вершину и двух её соседей). Получается \(n(n - 3)\) соединений, но каждая диагональ учитывается дважды — по одному разу с каждого конца, — поэтому результат делим на 2.
Пример расчёта
Возьмём шестиугольник, у которого \(n = 6\) сторон. Подставляем в формулу: $$D = \frac{6 \times (6 - 3)}{2} = \frac{6 \times 3}{2} = \frac{18}{2} = 9$$ Значит, у шестиугольника 9 диагоналей. Для пятиугольника (\(n = 5\)): \(D = \frac{5 \times 2}{2} = 5\) диагоналей.
Частые вопросы
Сколько диагоналей у треугольника? Ни одной. При \(n = 3\) получаем \(D = \frac{3 \times 0}{2} = 0\), потому что любая пара вершин уже соединена стороной.
Должна ли фигура быть правильной? Нет. Формула зависит только от числа сторон, поэтому она подходит для любого простого (без самопересечений) многоугольника — как правильного, так и неправильного.
Сколько диагоналей у квадрата? У квадрата (\(n = 4\)) получается \(D = \frac{4 \times 1}{2} = 2\) диагонали.
