Что такое тетраэдрическое число?
Тетраэдрическое число — это общее количество одинаковых шаров (сфер), сложенных в правильную треугольную пирамиду (тетраэдр) из n слоёв. На вершине лежит один шар, а каждый следующий слой представляет собой всё более крупный треугольник. n-е тетраэдрическое число, обозначаемое \(T_n\), — это просто суммарное число шаров во всех n слоях. Это чистая математика, и она работает одинаково в любой стране.
Как пользоваться калькулятором
Введите число слоёв n (целое число от 0 и выше), и калькулятор выдаст три значения: тетраэдрическое число \(T_n\) (всего шаров), физическую высоту стопки \(h_n\) в диаметрах шара и количество шаров в нижнем слое. Для пустой стопки укажите n = 0 (0 шаров, нулевая высота).
Разбор формулы
Каждый слой k — это сам по себе треугольник, в котором лежит k-е треугольное число шаров: \(P_k = \dfrac{k(k+1)}{2}\). Поэтому сверху вниз слои содержат 1, 3, 6, 10, … шаров. Суммируя первые n треугольных чисел, получаем компактную формулу $$T_n = \dfrac{\text{n}\left(\text{n}+1\right)\left(\text{n}+2\right)}{6}$$
Что касается высоты: при плотной упаковке у сфер диаметром d центры соседних слоёв смещены по вертикали на \(\sqrt{\tfrac{2}{3}} \approx 0{,}8165\) диаметра. Если добавить по половине радиуса сверху и снизу, получим полную физическую высоту $$h_n = d\left(\left(\text{n}-1\right)\cdot\sqrt{\tfrac{2}{3}} + 1\right)$$ Для одного шара (n = 1) формула корректно даёт ровно один диаметр.
Пример расчёта (n = 4)
Четыре слоя содержат 1, 3, 6 и 10 шаров, поэтому \(T_n = 1 + 3 + 6 + 10 = 20\). Формула это подтверждает: $$\dfrac{4\cdot 5\cdot 6}{6} = 20 \text{ шаров}$$ Высота равна $$h_n = \left(4-1\right)\cdot 0{,}8165 + 1 = 2{,}4495 + 1 = 3{,}4495 \text{ диаметра шара}$$
Частые вопросы
Сколько шаров в нижнем слое? В основании лежит n-е треугольное число шаров: \(P_n = \dfrac{\text{n}\left(\text{n}+1\right)}{2}\).
А если мне нужна реальная длина? Высота указана в диаметрах. Умножьте \(h_n\) на фактический диаметр шара d (в см, мм и т. д.), чтобы получить физическую длину.
Почему в высоте используется sqrt(2/3)? При плотной упаковке каждый верхний шар укладывается в углубление между тремя нижними. Именно эта геометрия задаёт вертикальный шаг между центрами, равный \(\sqrt{\tfrac{2}{3}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3} \approx 0{,}8165\) диаметра.
