四面體數計算機

輸入計算

堆疊層數 n（層）

數學公式

Show calculation steps (2)

1. Base Layer Balls (Triangular Number)

   

   Number of balls in the bottom triangular layer

2. Stack Height (in ball diameters)

   

   Height of the stack measured in ball diameters; spacing factor s = sqrt(2/3)

結果

四面體數 Tn（堆疊球體總數）

20

balls in 4 layers

堆疊高度 hn	3.4495 ball diameters
球心間距	2.4495 ball diameters
底層球體數（三角形數 Pn）	10 balls

什麼是四面體數？

四面體數是指將大小相同的球體堆疊成正三角錐（四面體）共 \(n\) 層時，球體的總數。最頂層只有一顆球，往下每一層都是更大的三角形排列。第 \(n\) 個四面體數記作 \(T_n\)，就是這 \(n\) 層所有球體累加起來的總和。這是純數學概念，無論在世界任何地方都完全適用。

A tetrahedral number counts the balls stacked in a triangular pyramid.

如何使用本計算機

輸入堆疊的層數 \(n\)（大於或等於 0 的整數），計算機會回傳三項結果：四面體數 \(T_n\)（球體總數）、以球體直徑為單位表示的堆疊實際高度 \(h_n\)，以及底層的球體數量。若輸入 \(n = 0\)，代表空堆疊（0 顆球、高度為 0）。

公式說明

每一層 \(k\) 本身就是一個三角形，放著第 \(k\) 個三角形數的球體 \(P_k = k(k+1)/2\)，因此由上往下各層的球數依序為 1、3、6、10……。將前 \(n\) 個三角形數相加，即可得到封閉公式 $$T_n = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}$$

至於高度，直徑為 \(d\) 的密堆積球體，相鄰兩層球心的垂直間距為 \(\sqrt{2/3} \approx 0.8165\) 個直徑。再加上頂部與底部各半個半徑，便得到完整的實際高度 $$h_n = d\left((n-1)\cdot\sqrt{\tfrac{2}{3}} + 1\right)$$ 對於單一顆球（\(n = 1\)），此公式正確地回傳一個直徑的高度。

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Each layer is a triangular number; their sum gives the tetrahedral number.

實例演算（n = 4）

四層分別放有 1、3、6、10 顆球，所以 $$T_n = 1 + 3 + 6 + 10 = 20$$ 以封閉公式驗算同樣得到：$$\frac{4\cdot 5\cdot 6}{6} = 20 \text{ 顆球}$$ 高度則為 $$h_n = (4-1)\cdot 0.8165 + 1 = 2.4495 + 1 = 3.4495 \text{ 個球體直徑}$$

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For n = 4 the layers 1 + 3 + 6 + 10 total 20 balls.

常見問題

最底層有幾顆球？底層放的是第 \(n\) 個三角形數，也就是 \(P_n = n(n+1)/2\) 顆球。

如果我想換算成實際長度怎麼辦？高度是以「直徑」為單位表示的。只要把 \(h_n\) 乘上你實際的球體直徑 \(d\)（公分、公釐等皆可），就能得到實際長度。

為什麼高度要用 sqrt(2/3)？在密堆積中，每顆上層球都會嵌進下方三顆球形成的凹窩裡；這樣的幾何關係使得相鄰層球心之間的垂直間距為 \(\sqrt{2/3} = \sqrt{6}/3 \approx 0.8165\) 個直徑。