Tetrahedral sayı nedir?
Tetrahedral sayı, özdeş topların (kürelerin) n katmanlı düzgün bir üçgen piramide — yani bir tetrahedrona — istiflendiğinde elde edilen toplam top sayısıdır. En üst katmanda tek bir top bulunur ve altındaki her katman daha büyük bir üçgen dizilimi oluşturur. \(T_n\) ile gösterilen n. tetrahedral sayı, n katmanın tümündeki topların kümülatif toplamından başka bir şey değildir. Bu tamamen matematiksel bir kavramdır ve dünyanın her yerinde aynı şekilde geçerlidir.
Hesaplama aracı nasıl kullanılır?
İstiflenen katman sayısı n'i girin (0 veya daha büyük bir tam sayı); hesaplayıcı size üç sonuç döndürür: tetrahedral sayı \(T_n\) (toplam top sayısı), top çapı cinsinden ifade edilen fiziksel yığın yüksekliği \(h_n\) ve taban katmanındaki top sayısı. Boş bir yığın için n = 0 kullanın (0 top, 0 yükseklik).
Formülün açıklaması
Her bir k katmanı, kendi içinde k. üçgensel sayı kadar top barındıran bir üçgendir: \(P_k = \frac{k(k+1)}{2}\). Böylece katmanlar yukarıdan aşağıya doğru 1, 3, 6, 10, ... top içerir. İlk n üçgensel sayının toplamı bize kapalı formu verir:
$$T_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$$Yüksekliğe gelince, d çapındaki sıkı paketlenmiş kürelerin katman merkezleri dikey olarak birbirinden \(\sqrt{\tfrac{2}{3}} \approx 0{,}8165\) çap kadar ayrılır. Üst ve alttaki yarıçap eklenince tam fiziksel yükseklik
$$h_n = d\left((n-1)\cdot\sqrt{\tfrac{2}{3}} + 1\right)$$olur. Tek bir top için (n = 1) bu doğru biçimde bir çap değeri verir.
Çözümlü örnek (n = 4)
Dört katman sırasıyla 1, 3, 6 ve 10 top barındırır, dolayısıyla \(T_n = 1 + 3 + 6 + 10 = 20\) olur. Kapalı form da bunu doğrular:
$$\frac{4\cdot 5\cdot 6}{6} = 20 \text{ top}$$Yükseklik ise
$$h_n = (4-1)\cdot 0{,}8165 + 1 = 2{,}4495 + 1 = 3{,}4495$$top çapıdır.
Sıkça Sorulan Sorular
En alttaki katmanda kaç top vardır? Taban katmanı, n. üçgensel sayı kadar top barındırır: \(P_n = \frac{n(n+1)}{2}\).
Gerçek bir uzunluk istersem ne yapmalıyım? Yükseklik çap cinsinden verilir. Fiziksel uzunluğu bulmak için \(h_n\) değerini topunuzun gerçek çapı d ile (cm, mm vb.) çarpın.
Yükseklikte neden \(\sqrt{\tfrac{2}{3}}\) kullanılıyor? Sıkı paketlemede her üst top, alttaki üç topun oluşturduğu çukura oturur; bu geometri dikey merkezden merkeze adımı çapın \(\sqrt{\tfrac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \approx 0{,}8165\) katı olarak belirler.
