三角錐数の計算

計算を入力してください

積み上げる段数 n（段）

公式

Show calculation steps (2)

1. Base Layer Balls (Triangular Number)

   

   Number of balls in the bottom triangular layer

2. Stack Height (in ball diameters)

   

   Height of the stack measured in ball diameters; spacing factor s = sqrt(2/3)

結果

三角錐数 Tn（ボールの総数）

20

balls in 4 layers

積み上げ高さ hn	3.4495 ball diameters
中心間の距離	2.4495 ball diameters
底面の個数（三角数 Pn）	10 balls

三角錐数とは

三角錐数とは、同じ大きさのボール（球）をn段の正三角錐（四面体）の形に積み上げたときの、ボールの総数を表す数です。最上段は1個のボール、その下の段にいくほど大きな正三角形に並びます。n番目の三角錐数\(T_n\)は、n段すべてのボールの個数を合計した値にあたります。これは純粋な数学であり、世界中どこでも同じように成り立ちます。

A tetrahedral number counts the balls stacked in a triangular pyramid.

この計算機の使い方

積み上げる段数n（0以上の整数）を入力すると、次の3つの値が求められます。三角錐数\(T_n\)（ボールの総数）、ボールの直径を単位とした積み上げ高さ\(h_n\)、そして底面の段に並ぶボールの個数です。n = 0 と入力すれば、空の状態（ボール0個・高さ0）になります。

公式のしくみ

k段目はそれ自体がk番目の三角数 \(P_k = \dfrac{k(k+1)}{2}\) 個のボールが並ぶ三角形です。つまり上から順に1個、3個、6個、10個…と並んでいきます。この最初のn個の三角数を合計すると、閉じた式 $$T_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$$ が得られます。

高さについては、直径dの球を最密に積み上げると、各段の中心間の鉛直距離は \(\sqrt{\tfrac{2}{3}} \approx 0.8165\) 直径ぶんになります。これに上端と下端の半径ずつを加えると、全体の高さは $$h_n = d\left((n-1)\cdot\sqrt{\tfrac{2}{3}} + 1\right)$$ となります。ボール1個（n = 1）のときは、ちょうど1直径ぶんとなり正しく成立します。

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Each layer is a triangular number; their sum gives the tetrahedral number.

計算例（n = 4 のとき）

4つの段にはそれぞれ1個、3個、6個、10個のボールが並ぶので、$$T_n = 1 + 3 + 6 + 10 = 20$$ となります。閉じた式でも確認できます。$$\frac{4\cdot 5\cdot 6}{6} = 20$$ 個。高さは $$h_n = (4-1)\cdot 0.8165 + 1 = 2.4495 + 1 = 3.4495$$ 直径ぶんです。

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For n = 4 the layers 1 + 3 + 6 + 10 total 20 balls.

よくある質問

底面の段にはボールが何個並びますか？ 底面の段にはn番目の三角数 \(P_n = \dfrac{n(n+1)}{2}\) 個のボールが並びます。

実際の長さを知りたい場合は？ 高さは直径を単位として表示されます。\(h_n\)に実際のボールの直径d（cm、mmなど）を掛ければ、実際の長さが求められます。

なぜ高さに \(\sqrt{\tfrac{2}{3}}\) が使われるのですか？ 最密充填では、上段の各ボールが下段の3つのボールが作るくぼみにはまり込みます。この幾何学的な配置により、中心から中心までの鉛直方向の間隔が直径の \(\sqrt{\tfrac{2}{3}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3} \approx 0.8165\) 倍に決まるためです。