四面体数计算器（堆叠小球数量）

数学公式

Show calculation steps (2)

Base Layer Balls (Triangular Number)

Number of balls in the bottom triangular layer
Stack Height (in ball diameters)

Height of the stack measured in ball diameters; spacing factor s = sqrt(2/3)

结果

四面体数 Tn（堆叠小球总数）

balls in 4 layers

堆叠高度 hn	3.4495 ball diameters
球心间距	2.4495 ball diameters
底层小球数（三角形数 Pn）	10 balls

什么是四面体数？

四面体数指的是把若干相同的小球（球体）堆成一个正三角锥（四面体）时所用到的小球总数，其中共有 $n$ 层。最顶上一层只有一个球，往下每一层都是更大的三角形排列。第 $n$ 个四面体数记作 $T_n$，就是这 $n$ 层小球数量的累计总和。它属于纯数学概念，在世界任何地方的结果都完全一致。

A pyramid of stacked spheres forming a tetrahedron of four layers — A tetrahedral number counts the balls stacked in a triangular pyramid.

如何使用本计算器

输入堆叠的层数 $n$（取 0 或更大的整数），计算器会返回三项结果：四面体数 $T_n$（小球总数）、以球直径为单位的实际堆叠高度 $h_n$，以及底层的小球数量。若 $n = 0$，则表示空堆（0 个小球，高度为 0）。

公式详解

第 $k$ 层本身是一个三角形，含有第 $k$ 个三角形数个小球，即 $P_k = \dfrac{k(k+1)}{2}$——因此从上到下各层依次为 1、3、6、10……个球。把前 $n$ 个三角形数相加，就得到了闭式公式 $$T_n = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}$$

关于高度，直径为 $d$ 的密堆积球体，相邻两层球心之间的垂直距离为 $\sqrt{\tfrac{2}{3}} \approx 0.8165$ 个直径。再在最顶端和最底端各加上半个半径，便得到完整的实际高度 $$h_n = d\left((n-1)\cdot\sqrt{\tfrac{2}{3}} + 1\right)$$ 对于单个球（$n = 1$），该公式恰好返回一个直径，结果正确。

Four separate triangular layers of balls labeled by triangular counts 1, 3, 6, 10 — Each layer is a triangular number; their sum gives the tetrahedral number.

实例演算（n = 4）

四层分别含有 1、3、6、10 个球，因此 $$T_n = 1 + 3 + 6 + 10 = 20$$ 用闭式公式验证： $$\dfrac{4\cdot 5\cdot 6}{6} = 20 \text{ 个球}$$ 高度为 $$h_n = (4-1)\cdot 0.8165 + 1 = 2.4495 + 1 = 3.4495 \text{ 个球直径}$$

Tetrahedral stack of four layers totaling twenty balls — For n = 4 the layers 1 + 3 + 6 + 10 total 20 balls.

常见问题

底层一共有多少个球？底层含有第 $n$ 个三角形数个球，即 $P_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$。

如果我想得到实际长度怎么办？高度以直径为单位给出。把 $h_n$ 乘以你实际的球直径 $d$（单位可用厘米、毫米等），即可得到真实长度。

为什么高度公式里有 $\sqrt{\tfrac{2}{3}}$？在密堆积中，每个上层球都嵌入下方三个球所形成的凹陷处；正是这一几何结构，使得相邻层球心之间的垂直间距等于 $\sqrt{\tfrac{2}{3}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3} \approx 0.8165$ 个直径。