حاسبة العدد الرباعي السطوح

أدخل الحساب

عدد الطبقات المكدّسة n (طبقة)

صيغة رياضية

Show calculation steps (2)

1. Base Layer Balls (Triangular Number)

   

   Number of balls in the bottom triangular layer

2. Stack Height (in ball diameters)

   

   Height of the stack measured in ball diameters; spacing factor s = sqrt(2/3)

نتائج

العدد الرباعي السطوح Tn (إجمالي الكرات في الكومة)

٢٠

balls in ٤ layers

ارتفاع الكومة hn	٣٫٤٤٩٥ ball diameters
المسافة من مركز إلى مركز	٢٫٤٤٩٥ ball diameters
عدد كرات طبقة القاعدة (العدد المثلثي Pn)	١٠ balls

ما هو العدد الرباعي السطوح؟

العدد الرباعي السطوح هو إجمالي عدد الكرات المتطابقة عند تكديسها على هيئة هرم منتظم ثلاثي القاعدة — أي رباعي السطوح — مكوّن من \(n\) من الطبقات. تضم الطبقة العليا كرة واحدة فقط، وكل طبقة أسفلها تشكّل ترتيبًا مثلثيًا أكبر. والعدد الرباعي السطوح ذو الرتبة \(n\)، ويُرمز إليه بـ \(T_n\), ليس سوى المجموع التراكمي لعدد الكرات في الطبقات كلها. هذا مفهوم رياضي بحت ينطبق بالطريقة نفسها في كل مكان.

A tetrahedral number counts the balls stacked in a triangular pyramid.

كيفية استخدام الحاسبة

أدخل عدد الطبقات المكدّسة \(n\) (عدد صحيح يساوي 0 أو أكثر)، فتعيد لك الحاسبة ثلاث نتائج: العدد الرباعي السطوح \(T_n\) (إجمالي الكرات)، والارتفاع الفعلي للكومة \(h_n\) مقيسًا بوحدة أقطار الكرة، وعدد الكرات في طبقة القاعدة. استخدم \(n = 0\) للحصول على كومة فارغة (0 كرة و0 ارتفاع).

شرح الصيغة

كل طبقة \(k\) هي بحد ذاتها مثلث يضم العدد المثلثي ذا الرتبة \(k\) من الكرات، أي \(P_k = \dfrac{k(k+1)}{2}\) — وبذلك تحتوي الطبقات على 1، 3، 6، 10، ... كرة من الأعلى إلى الأسفل. وبجمع أول \(n\) من الأعداد المثلثية نحصل على الصيغة المغلقة $$T_n = \dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{6}$$

أما الارتفاع، فإن الكرات المرصوصة بإحكام بقطر \(d\) تفصل بين مراكز طبقاتها رأسيًا مسافة \(\sqrt{\tfrac{2}{3}} \approx 0.8165\) من القطر. وبإضافة نصف القطر عند القمة والقاعدة نحصل على الارتفاع الفعلي الكامل $$h_n = d\left(\left(n-1\right)\cdot\sqrt{\tfrac{2}{3}} + 1\right)$$ وفي حالة كرة واحدة (\(n = 1\)) تعيد الصيغة قطرًا واحدًا بشكل صحيح.

اعلان

Each layer is a triangular number; their sum gives the tetrahedral number.

مثال محلول (n = 4)

تضم الطبقات الأربع 1 و3 و6 و10 كرات، إذن $$T_n = 1 + 3 + 6 + 10 = 20$$ وتؤكد الصيغة المغلقة ذلك: $$\dfrac{4\cdot5\cdot6}{6} = 20 \text{ كرة}$$ أما الارتفاع فهو $$h_n = \left(4-1\right)\cdot0.8165 + 1 = 2.4495 + 1 = 3.4495$$ من أقطار الكرة.

اعلان

For n = 4 the layers 1 + 3 + 6 + 10 total 20 balls.

الأسئلة الشائعة

كم عدد الكرات في الطبقة السفلى؟ تضم طبقة القاعدة العدد المثلثي ذا الرتبة \(n\)، أي \(P_n = \dfrac{n(n+1)}{2}\) كرة.

ماذا لو أردت طولًا حقيقيًا؟ يُعطى الارتفاع بوحدة الأقطار. اضرب \(h_n\) في القطر الفعلي لكرتك \(d\) (بالسنتيمتر أو المليمتر أو غيرها) للحصول على طول مادي.

لماذا يستخدم الارتفاع sqrt(2/3)؟ في الرصّ المحكم تستقر كل كرة عليا في الفجوة التي تشكّلها ثلاث كرات سفلى؛ وهذه الهندسة تجعل الخطوة الرأسية من مركز إلى مركز تساوي \(\sqrt{\tfrac{2}{3}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3} \approx 0.8165\) من القطر.