水素原子の動径波動関数計算機とは
このツールは、水素様原子（電子が1個の原子）の規格化された動径波動関数 R(r) を計算します。R(r) は、電子の波動関数のうち原子核からの距離 r だけに依存する部分です。あわせて r·R(r) も出力します。これは、動径方向の存在確率密度が (r·R(r))² に比例するためです。本計算は純粋に量子力学に基づくもので、特定の国や制度に依存せず普遍的に成り立ちます。距離はボーア半径を単位とします（a = a₀ = 1）。
使い方
まず原子番号 Z を選びます（水素は Z=1、ヘリウムイオン He+ は Z=2）。次に主量子数 n（1, 2, 3, …）と方位量子数 l（0 から n−1 まで）を入力します。最後に r の初期値、刻み幅、点数を設定すると、グラフ化できる数表が得られます。
計算式
無次元変数 \(\rho = \frac{2Zr}{na}\)（\(a = 1\)）を用いると、規格化された動径波動関数は次のようになります。
$$R_{n,l}(r) = N \cdot e^{-\rho/2} \cdot \rho^{l} \cdot L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho)$$
ここで規格化定数 N は $$N = \sqrt{\left(\frac{2Z}{na}\right)^{3} \cdot \frac{(n-l-1)!}{2n \cdot (n+l)!}}$$ です。ラゲール陪多項式は \(L_p^q(x) = \sum (-1)^i \binom{p+q}{p-i} \frac{x^i}{i!}\) で与えられます。
計算例
Z=1、n=2、l=0（2s 軌道）の場合：$$R_{2,0}(r) = \frac{1}{2\sqrt{2}}(2 - r)\,e^{-r/2}$$。r=0 では \(R = \frac{1}{2.828427} \cdot 2 = 0.707107\) となります。r=2 では R=0 となる動径節（ノード）が存在します。これは本計算機の出力と一致します。
よくある質問
先頭にマイナス符号が付くことがあるのはなぜですか？ 全体の符号は位相の取り方（位相規約）によるもので、物理的な意味はありません。(r·R)² は符号によらず同じ値になります。
l≥1 のとき R(0)=0 になるのはなぜですか？ l≥1 では r=0 において \(\rho^l = 0\) となるためです。
R(r) の単位は何ですか？ \(a_0^{-3/2}\) です。波動関数はボーア半径を単位とする3次元空間全体で規格化されているためです。
