Qu'est-ce que le calculateur de fonction d'onde radiale de l'hydrogène ?
Cet outil calcule la fonction d'onde radiale normalisée R(r) d'un atome hydrogénoïde (à un seul électron) — la partie de la fonction d'onde électronique qui ne dépend que de la distance r au noyau. Il fournit également r·R(r), car la densité de probabilité radiale est proportionnelle à (r·R(r))². Il s'agit de mécanique quantique pure, applicable universellement. Les distances sont exprimées en rayons de Bohr (\(a = a_0 = 1\)).
Comment l'utiliser
Choisissez le numéro atomique Z (hydrogène Z=1 ou l'ion hélium He+ Z=2), saisissez le nombre quantique principal n (1, 2, 3, ...) et le nombre quantique azimutal l (de 0 à n−1). Définissez ensuite le rayon de départ, le pas et le nombre de points afin de générer un tableau que vous pourrez tracer.
La formule
Avec la variable sans dimension \(\rho = 2Zr/(na)\) et \(a = 1\), la fonction d'onde radiale normalisée s'écrit
$$R_{n,l}(r) = N\,e^{-\rho/2}\,\rho^{\,l}\,L_{n-l-1}^{\,2l+1}(\rho)$$où la constante de normalisation vaut
$$N = \sqrt{\left(\frac{2Z}{na}\right)^{3}\frac{(n-l-1)!}{2n\,((n+l)!)}}$$Le polynôme de Laguerre associé est donné par
$$L_p^q(x) = \sum (-1)^i \binom{p+q}{p-i} \frac{x^i}{i!}$$
Exemple résolu
Pour Z=1, n=2, l=0 (l'orbitale 2s) :
$$R_{2,0}(r) = \frac{1}{2\sqrt{2}}(2 - r)\,e^{-r/2}$$En r=0, \(R = \frac{1}{2{,}828427}\cdot 2 = 0{,}707107\). En r=2, on rencontre un nœud radial où \(R=0\). Cela correspond au résultat fourni par le calculateur.
FAQ
Pourquoi apparaît-il parfois un signe moins en tête ? Le signe global relève d'une convention de phase sans signification physique ; \((r\cdot R)^2\) est indépendant du signe.
Pourquoi R(0)=0 lorsque l≥1 ? Parce que \(\rho^l = 0\) en r=0 dès que \(l\ge 1\).
Quelle est l'unité de R(r) ? \(a_0^{-3/2}\), car la fonction d'onde est normalisée sur l'espace tridimensionnel mesuré en rayons de Bohr.
