À quoi sert ce calculateur
Cet outil calcule et trace la fonction d'onde \(\psi_n(x)\) de l'oscillateur harmonique quantique (OHQ) à une dimension pour un nombre quantique \(n\) donné, sur une plage de positions \(x\). L'OHQ est l'un des modèles exactement solubles les plus importants de la mécanique quantique : il décrit les vibrations moléculaires, les phonons dans les solides et les modes du champ électromagnétique. Les fonctions d'onde sont les états propres de l'hamiltonien, associés aux énergies \(E_n = \hbar\omega(n + \tfrac{1}{2})\).
Convention d'unités
Pour obtenir un résultat purement numérique, les positions sont exprimées en unités adimensionnées de longueur d'oscillateur, ce qui revient à fixer le paramètre \(\alpha = \sqrt{m\omega/\hbar} = 1\). Avec ce choix, aucune valeur de masse, de pulsation ou de \(\hbar\) n'est nécessaire : il suffit de fournir \(n\) et les paramètres d'échantillonnage de \(x\). Les énergies sortent en unités de \(\hbar\omega\), si bien que \(E_n\) vaut tout simplement \(n + \tfrac{1}{2}\).
La formule
La fonction propre normalisée s'écrit
$$\psi_n(x) = N_n\, H_n(x)\, e^{-x^{2}/2}$$où la constante de normalisation vaut
$$N_n = \sqrt{\frac{1}{2^{n}\,n!\,\sqrt{\pi}}}$$et où \(H_n\) désigne le polynôme d'Hermite « des physiciens ». Les polynômes d'Hermite se construisent à partir de la relation de récurrence stable \(H_0 = 1\), \(H_1 = 2x\) et \(H_{k+1} = 2x\,H_k - 2k\,H_{k-1}\). La normalisation est calculée dans le domaine logarithmique afin d'éviter tout dépassement de capacité (overflow) pour les grandes valeurs de \(n\).
Comment l'utiliser
Saisissez le nombre quantique \(n\) (0, 1, 2, ...), la position initiale \(x\), le pas d'incrément et le nombre de points à échantillonner. Le calculateur évalue \(x_i = \text{startX} + i\cdot\text{stepX}\) pour chaque \(i\) et renvoie \(\psi\) en chaque point, accompagné d'un graphique de \(\psi(x)\) en fonction de \(x\). Les valeurs par défaut (début \(-4\), pas \(0{,}1\), 81 points) balaient \(x\) de \(-4\) à \(+4\).
Exemple détaillé
Pour \(n = 1\) en \(x = 1{,}0\) : \(N_1 = \sqrt{1/(2\,\sqrt{\pi})} = 0{,}5311259\), \(H_1(1) = 2{,}0\) et \(e^{-0{,}5} = 0{,}6065307\). On obtient donc
$$\psi_1(1{,}0) = 0{,}5311259 \times 2{,}0 \times 0{,}6065307 = 0{,}6442715$$L'état \(n = 1\) présente un nœud en \(x = 0\), où \(\psi_1(0) = 0\).
FAQ
Pourquoi psi devient-elle négative ? Les fonctions d'onde sont ici réelles et changent de signe au gré des oscillations ; la grandeur physiquement observable est la densité de probabilité \(|\psi|^2\), qui reste toujours positive ou nulle.
Combien de nœuds compte \(\psi_n\) ? Exactement \(n\) nœuds (passages par zéro) à l'intérieur du puits, signature caractéristique du \(n\)-ième état excité.
psi est-elle normalisée ? Oui : en \(x\) continu, l'intégrale de \(\psi_n^2\, dx\) vaut 1. Une grille échantillonnée finie ne fait qu'approcher cette intégrale.
