Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, seçtiğiniz bir \(n\) kuantum sayısı için tek boyutlu kuantum harmonik osilatörün (KHO) \(\psi_n(x)\) dalga fonksiyonunu belirli bir \(x\) konum aralığında hesaplar ve grafiğe döker. KHO, kuantum mekaniğinin tam çözülebilen en önemli modellerinden biridir; titreşen molekülleri, katılardaki fononları ve elektromanyetik alanın modlarını tanımlar. Dalga fonksiyonları, Hamiltoniyenin \(E_n = \hbar\omega\left(n + \tfrac{1}{2}\right)\) enerjilerine sahip özdurumlarıdır.
Birim seçimi
Sonucu tamamen sayısal tutmak için konumlar boyutsuz osilatör-uzunluğu biriminde ölçülür; bu da \(\alpha = \sqrt{m\omega/\hbar} = 1\) almakla eşdeğerdir. Bu seçimle kütle, açısal frekans ya da \(\hbar\) değerlerine ihtiyacınız kalmaz: yalnızca \(n\) değerini ve \(x\) örnekleme parametrelerini girersiniz. Enerjiler \(\hbar\omega\) biriminde çıkar, dolayısıyla \(E_n\) yalnızca \(n + \tfrac{1}{2}\) değerine eşittir.
Formül
Normalize edilmiş özfonksiyon $$\psi_n(x) = N_n\, H_n(x)\, e^{-x^{2}/2}$$ şeklindedir; burada normalleştirme sabiti \(N_n = \sqrt{\dfrac{1}{2^{n}\,n!\,\sqrt{\pi}}}\) ve \(H_n\) fizikçilerin Hermite polinomudur. Hermite polinomları, kararlı yineleme bağıntısıyla kurulur: \(H_0 = 1\), \(H_1 = 2x\) ve \(H_{k+1} = 2x\,H_k - 2k\,H_{k-1}\). Büyük \(n\) değerlerinde taşmayı önlemek için normalleştirme logaritmik düzlemde hesaplanır.
Nasıl kullanılır?
\(n\) kuantum sayısını (0, 1, 2, ...), başlangıç \(x\) konumunu, adım büyüklüğünü ve örneklenecek nokta sayısını girin. Hesaplayıcı her \(i\) için \(x_i = \text{startX} + i\cdot\text{stepX}\) değerini hesaplar ve her noktadaki \(\psi\) değerini, ayrıca \(\psi(x)\) - \(x\) grafiğini döndürür. Varsayılan değerler (başlangıç -4, adım 0.1, 81 nokta) \(x\)'i -4 ile +4 arasında tarar.
Çözümlü örnek
\(n = 1\) ve \(x = 1.0\) için: \(N_1 = \sqrt{1/(2\sqrt{\pi})} = 0.5311259\), \(H_1(1) = 2.0\) ve \(e^{-0.5} = 0.6065307\). Buradan $$\psi_1(1.0) = 0.5311259 \times 2.0 \times 0.6065307 = 0.6442715$$ elde edilir. \(n = 1\) durumunun \(x = 0\) noktasında bir düğümü vardır; orada \(\psi_1(0) = 0\) olur.
Sıkça sorulan sorular
\(\psi\) neden negatif değer alıyor? Burada dalga fonksiyonları gerçeldir ve işaret değiştirerek salınır; fiziksel olarak gözlemlenebilen olasılık yoğunluğu ise her zaman negatif olmayan \(|\psi|^2\) büyüklüğüdür.
\(\psi_n\) kaç düğüme sahiptir? Kuyu içinde tam olarak \(n\) düğüme (sıfırdan geçiş) sahiptir; bu, \(n\). uyarılmış durumun ayırt edici özelliğidir.
\(\psi\) normalize edilmiş mi? Evet; sürekli \(x\) üzerinde \(\psi_n^2\, dx\) integrali 1'e eşittir. Sonlu sayıda noktadan oluşan örnekleme ızgarası bu integrali yalnızca yaklaşık olarak verir.
