ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تقوم هذه الأداة بحساب ورسم الدالة الموجية للمذبذب التوافقي الكمومي أحادي البعد (QHO)، أي \(\psi_n(x)\)، عند عدد كمومي \(n\) مُختار وعلى مجال من المواضع \(x\). يُعدّ المذبذب التوافقي الكمومي من أهم النماذج القابلة للحل بدقة في ميكانيكا الكم، إذ يصف اهتزاز الجزيئات، والفونونات في المواد الصلبة، وأنماط المجال الكهرومغناطيسي. وتمثّل الدوال الموجية الحالات الذاتية لمؤثّر هاميلتون بطاقات تساوي \(E_n = \hbar\omega\left(n + \tfrac{1}{2}\right)\).
اصطلاح الوحدات
للحفاظ على نتيجة رقمية بحتة، تُقاس المواضع بوحدات طول المذبذب اللابُعدية، وهو ما يكافئ ضبط المعامل \(\alpha = \sqrt{m\omega/\hbar} = 1\). وبهذا الاختيار لا حاجة لإدخال أي قيم للكتلة أو التردد الزاوي أو \(\hbar\)، فكل ما تُدخله هو \(n\) ومعطيات أخذ العينات على المحور \(x\). وتظهر الطاقات بوحدات \(\hbar\omega\)، ومن ثمّ تساوي \(E_n\) ببساطة \(n + \tfrac{1}{2}\).
المعادلة
الدالة الذاتية المُطبّعة هي $$\psi_n(x) = N_n\, H_n(x)\, e^{-x^{2}/2}$$ حيث ثابت التطبيع \(N_n = \sqrt{1 / (2^{n}\, n!\, \sqrt{\pi})}\)، و\(H_n\) هي كثيرة حدود هيرمايت بصيغة الفيزيائيين. تُبنى كثيرات حدود هيرمايت من علاقة التكرار المستقرة: \(H_0 = 1\)، و\(H_1 = 2x\)، و\(H_{k+1} = 2x\,H_k - 2k\,H_{k-1}\). ويُحسب التطبيع في المجال اللوغاريتمي لتفادي الطفحان عند القيم الكبيرة لـ \(n\).
طريقة الاستخدام
أدخل العدد الكمومي \(n\) (0، 1، 2، ...)، والموضع الابتدائي \(x\)، ومقدار الخطوة، وعدد النقاط المطلوب أخذ عيناتها. تقوم الحاسبة بتقييم \(x_i = \text{startX} + i\cdot\text{stepX}\) لكل قيمة \(i\)، وتُرجع \(\psi\) عند كل نقطة إلى جانب رسم بياني لـ \(\psi(x)\) مقابل \(x\). وتمسح القيم الافتراضية (البداية -4، الخطوة 0.1، 81 نقطة) المجال \(x\) من -4 إلى +4.
مثال محلول
عند \(n = 1\) وعند \(x = 1.0\): نجد أن \(N_1 = \sqrt{1/(2\sqrt{\pi})} = 0.5311259\)، و\(H_1(1) = 2.0\)، و\(e^{-0.5} = 0.6065307\). ومن ثمّ $$\psi_1(1.0) = 0.5311259 \times 2.0 \times 0.6065307 = 0.6442715$$ وللحالة \(n = 1\) عقدة عند \(x = 0\) حيث \(\psi_1(0) = 0\).
الأسئلة الشائعة
لماذا تصبح psi سالبة؟ الدوال الموجية هنا حقيقية وتتذبذب في إشارتها؛ أما الكمية القابلة للقياس فيزيائيًا فهي كثافة الاحتمال \(|\psi|^2\)، وهي دائمًا غير سالبة.
كم عدد العُقد التي تمتلكها \(\psi_n\)؟ بالضبط \(n\) عقدة (نقاط تقاطع مع الصفر) داخل البئر، وهي سمة مميّزة للحالة المثارة رقم \(n\).
هل psi مُطبّعة؟ نعم، في المتغير المتصل \(x\) يساوي تكامل \(\psi_n^2\, dx\) الواحد. أما الشبكة المنتهية من العينات فهي تقريب لذلك التكامل فقط.
