ما هي معادلة الموجة التوافقية؟
تُوصَف الموجة التوافقية (الجيبية) المتحركة بالعلاقة \( y(x, t) = A \sin(kx - \omega t + \varphi) \). وهي تصف الإزاحة المستعرضة y لأي نقطة في وسط أحادي البُعد — كوتر مشدود، أو عمود هوائي صوتي، أو مركّبة من مجال كهرومغناطيسي — وكيف تتغيّر هذه الإزاحة بتغيّر الموضع x والزمن t. وتدل إشارة الطرح أمام \( \omega t \) على أن الموجة تتحرك في اتجاه المحور x الموجب.
$$ y = \text{A} \sin\!\left( \text{k}\,\text{x} - \omega\,\text{t} + \varphi \right) $$
دلالة الرموز
A هي السعة (أقصى إزاحة). وk هو العدد الموجي الزاوي بوحدة راديان/متر، ويرتبط بالطول الموجي بالعلاقة \( k = 2\pi/\lambda \). أما ω فهو التردد الزاوي بوحدة راديان/ثانية، ويرتبط بالتردد بالعلاقة \( \omega = 2\pi f \). وφ هو ثابت الطور بالراديان، الذي يُزيح الموجة عند \( t = 0 \) و\( x = 0 \).
كيفية استخدام الحاسبة
أدخِل قيمة السعة، والعدد الموجي k، والتردد الزاوي ω، وثابت الطور φ، ثم الموضع x والزمن t اللذين تريد حساب الإزاحة عندهما. تعرض لك الحاسبة الإزاحة اللحظية إلى جانب الطول الموجي والتردد والزمن الدوري للموجة وسرعة الطور. جميع القيم الزاوية مُعطاة بالراديان.
مثال محلول
لِنأخذ \( A = 0.05 \) م، و\( k = 2 \) راديان/م، و\( \omega = 3 \) راديان/ث، و\( \varphi = 0 \)، عند \( x = 1 \) م و\( t = 0 \) ث. يكون الطور \( kx - \omega t + \varphi = 2(1) - 3(0) + 0 = 2 \) راديان. ومن ثَمّ $$ y = 0.05 \cdot \sin(2) = 0.05 \times 0.909297 \approx \mathbf{0.0454649 \text{ م}} $$ أما الطول الموجي فهو \( 2\pi/2 \approx 3.1416 \) م، والتردد \( 3/2\pi \approx 0.4775 \) هرتز، والزمن الدوري \( 2\pi/3 \approx 2.0944 \) ث، وسرعة الموجة \( 3/2 = 1.5 \) م/ث.
الأسئلة الشائعة
هل أستخدم الدرجات أم الراديان؟ الراديان. فدالة الجيب تعمل على الطور مُعبَّرًا عنه بالراديان، كما أن k وω وφ جميعها بوحدات قائمة على الراديان.
ماذا لو أردتُ موجة تتحرك في اتجاه −x؟ استخدم إشارة الجمع: \( y = A \sin(kx + \omega t + \varphi) \). ويمكنك محاكاة ذلك بإدخال قيمة سالبة لـ ω.
لماذا تكون سرعة الموجة \( v = \omega/k \)؟ النقطة ذات الطور الثابت تحقق \( kx - \omega t = \text{ثابت} \)، ومن ثَمّ \( dx/dt = \omega/k \). وتساوي سرعة الطور هذه حاصل ضرب \( \lambda \cdot f \).
