조화파 방정식이란?
조화파(정현파)로 진행하는 파동은 \( y(x, t) = A \sin(kx - \omega t + \varphi) \) 로 표현됩니다. 이 식은 1차원 매질 — 줄, 음향 공기 기둥, 전자기장 성분 등 — 위의 한 점이 갖는 횡변위 y가 위치 x와 시간 t에 따라 어떻게 변하는지를 나타냅니다. \( \omega t \) 앞에 붙은 음(−) 부호는 파동이 +x 방향으로 진행함을 의미합니다.
$$y = \text{A} \sin\!\left( \text{k}\,\text{x} - \omega\,\text{t} + \varphi \right)$$
각 기호의 의미
A는 진폭(최대 변위)입니다. k는 단위 rad/m인 각파수로, 파장과는 \( k = 2\pi/\lambda \) 의 관계를 갖습니다. ω는 단위 rad/s인 각진동수로, 진동수와는 \( \omega = 2\pi f \) 의 관계입니다. φ는 라디안 단위의 위상상수로, \( t = 0 \), \( x = 0 \) 일 때 파동을 좌우로 이동시키는 역할을 합니다.
계산기 사용법
진폭, 각파수 k, 각진동수 ω, 위상상수 φ, 그리고 값을 구하고자 하는 위치 x와 시간 t를 입력하세요. 계산기는 그 순간의 변위와 함께 파동의 파장, 진동수, 주기, 위상속도를 한꺼번에 보여 줍니다. 모든 각도 관련 값은 라디안 단위입니다.
계산 예시
A = 0.05 m, k = 2 rad/m, ω = 3 rad/s, φ = 0 이고, x = 1 m, t = 0 s 인 경우를 살펴봅시다. 위상은 \( kx - \omega t + \varphi = 2(1) - 3(0) + 0 = 2 \) rad 입니다. 따라서 $$y = 0.05 \cdot \sin(2) = 0.05 \times 0.909297 \approx \mathbf{0.0454649 \text{ m}}$$ 가 됩니다. 파장은 \( 2\pi/2 \approx 3.1416 \) m, 진동수는 \( 3/2\pi \approx 0.4775 \) Hz, 주기는 \( 2\pi/3 \approx 2.0944 \) s, 파속은 \( 3/2 = 1.5 \) m/s 입니다.
자주 묻는 질문
각도는 도(°)인가요, 라디안인가요? 라디안입니다. 사인 함수는 라디안으로 표현된 위상을 입력받으며, k, ω, φ 모두 라디안 기반 단위를 사용합니다.
−x 방향으로 진행하는 파동을 다루려면 어떻게 하나요? 플러스 부호를 쓰면 됩니다: \( y = A \sin(kx + \omega t + \varphi) \). ω에 음수 값을 입력하면 같은 효과를 낼 수 있습니다.
파속이 왜 \( v = \omega/k \) 인가요? 위상이 일정한 점은 \( kx - \omega t = \) 상수 를 만족하므로 \( dx/dt = \omega/k \) 가 됩니다. 이 위상속도는 \( \lambda \cdot f \) 와 같습니다.
