調和波の方程式とは？
調和波（正弦波）として進む波は、\( y(x, t) = A \sin(kx - \omega t + \varphi) \) という式で表されます。$$ y(x, t) = A \sin(kx - \omega t + \varphi) $$これは、弦・音波の空気柱・電磁場の成分といった一次元の媒質上にある任意の点の横方向の変位 y が、位置 x と時間 t によってどう変化するかをモデル化したものです。\( \omega t \) の前のマイナス符号は、波が x 軸の正の向きに進むことを意味します。
各記号の意味
\( A \) は振幅（最大変位）です。\( k \) は角波数で、単位は rad/m。波長 \( \lambda \) とは \( k = 2\pi/\lambda \) の関係があります。\( \omega \) は角周波数で、単位は rad/s。周波数 \( f \) とは \( \omega = 2\pi f \) の関係があります。\( \varphi \) は初期位相（位相定数）で、単位はラジアン。\( t = 0 \)、\( x = 0 \) のときに波形をずらす役割を持ちます。
計算ツールの使い方
振幅 \( A \)、角波数 \( k \)、角周波数 \( \omega \)、初期位相 \( \varphi \)、そして評価したい位置 \( x \) と時間 \( t \) を入力してください。瞬間的な変位に加えて、波長・周波数・周期・位相速度がまとめて表示されます。角度に関する量はすべてラジアンで扱います。
計算例
\( A = 0.05 \) m、\( k = 2 \) rad/m、\( \omega = 3 \) rad/s、\( \varphi = 0 \) とし、\( x = 1 \) m、\( t = 0 \) s の場合を考えます。位相は $$ kx - \omega t + \varphi = 2(1) - 3(0) + 0 = 2 \text{ rad} $$ となります。したがって $$ y = 0.05 \sin(2) = 0.05 \times 0.909297 \approx \mathbf{0.0454649 \text{ m}} $$ 波長は \( 2\pi/2 \approx 3.1416 \) m、周波数は \( 3/2\pi \approx 0.4775 \) Hz、周期は \( 2\pi/3 \approx 2.0944 \) s、波の速さは \( 3/2 = 1.5 \) m/s です。
よくある質問
度（°）とラジアンのどちらを使いますか？ ラジアンです。正弦関数はラジアンで表した位相に対して計算され、\( k \)・\( \omega \)・\( \varphi \) もすべてラジアンを基準とした単位で表されます。
−x 方向に進む波を求めたい場合は？ プラス符号を使い、\( y = A \sin(kx + \omega t + \varphi) \) とします。\( \omega \) に負の値を入力することでも同じ結果が得られます。
なぜ波の速さは \( v = \omega/k \) なのですか？ 位相が一定の点は \( kx - \omega t = \) 一定 を満たすため、これを微分すると \( dx/dt = \omega/k \) が得られます。この位相速度は \( \lambda \cdot f \) に等しくなります。
