हार्मोनिक तरंग समीकरण क्या है?
एक हार्मोनिक (ज्यावक्रीय) गतिमान तरंग को \( y(x, t) = A \sin(kx - \omega t + \varphi) \) द्वारा व्यक्त किया जाता है। यह किसी एक-विमीय माध्यम — जैसे तनी हुई डोरी, ध्वनि का स्तंभ या किसी विद्युतचुंबकीय क्षेत्र का घटक — पर स्थित किसी बिंदु के अनुप्रस्थ विस्थापन y को दर्शाता है, जो स्थिति x और समय t के साथ बदलता रहता है। \( \omega t \) के आगे ऋण चिह्न इस बात का संकेत है कि तरंग धनात्मक x-दिशा में आगे बढ़ रही है।
प्रतीकों का अर्थ
A आयाम है (अधिकतम विस्थापन)। k कोणीय तरंग संख्या है, जिसकी इकाई rad/m है और जो तरंगदैर्ध्य से \( k = 2\pi/\lambda \) के संबंध द्वारा जुड़ी है। ω कोणीय आवृत्ति है, इकाई rad/s, जो आवृत्ति से \( \omega = 2\pi f \) के संबंध द्वारा जुड़ी है। φ कलांतर स्थिरांक है (रेडियन में), जो \( t = 0 \) और \( x = 0 \) पर तरंग को खिसका देता है।
कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
आयाम, तरंग संख्या k, कोणीय आवृत्ति ω, कलांतर स्थिरांक φ, तथा वह स्थिति x और समय t दर्ज करें जिसके लिए आप गणना करना चाहते हैं। कैलकुलेटर तत्क्षण विस्थापन के साथ-साथ तरंग की तरंगदैर्ध्य, आवृत्ति, आवर्तकाल और कला-वेग बताता है। सभी कोणीय राशियाँ रेडियन में होती हैं।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \( A = 0.05 \text{ m} \), \( k = 2 \text{ rad/m} \), \( \omega = 3 \text{ rad/s} \), \( \varphi = 0 \), और \( x = 1 \text{ m} \) तथा \( t = 0 \text{ s} \)। तब कला $$ kx - \omega t + \varphi = 2(1) - 3(0) + 0 = 2 \text{ rad} $$ होगी। अतः $$ y = 0.05 \cdot \sin(2) = 0.05 \times 0.909297 \approx 0.0454649 \text{ m} $$ तरंगदैर्ध्य \( 2\pi/2 \approx 3.1416 \text{ m} \), आवृत्ति \( 3/2\pi \approx 0.4775 \text{ Hz} \), आवर्तकाल \( 2\pi/3 \approx 2.0944 \text{ s} \), और तरंग चाल \( 3/2 = 1.5 \text{ m/s} \) होगी।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
डिग्री इस्तेमाल करूँ या रेडियन? रेडियन। साइन फलन रेडियन में व्यक्त कला पर कार्य करता है, और k, ω तथा φ — तीनों ही रेडियन-आधारित इकाइयों में होते हैं।
अगर तरंग −x दिशा में चल रही हो तो? धन चिह्न का उपयोग करें: \( y = A \sin(kx + \omega t + \varphi) \)। आप इसे ऋणात्मक ω दर्ज करके भी प्राप्त कर सकते हैं।
तरंग चाल \( v = \omega/k \) क्यों होती है? स्थिर कला वाला कोई बिंदु \( kx - \omega t = \) स्थिरांक को संतुष्ट करता है, अतः \( dx/dt = \omega/k \)। यह कला-वेग \( \lambda \cdot f \) के बराबर होता है।
