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परिणाम

विस्थापन y(x, t)

0.045465

मीटर

कुल कला (k·x − ω·t + φ)	2 rad
तरंगदैर्ध्य λ = 2π/k	3.1416 m
आवृत्ति f = ω/2π	0.4775 Hz
आवर्तकाल T = 2π/ω	2.0944 s
तरंग चाल v = ω/k	1.5 m/s

हार्मोनिक तरंग समीकरण क्या है?

एक हार्मोनिक (ज्यावक्रीय) गतिमान तरंग को $ y(x, t) = A \sin(kx - \omega t + \varphi) $ द्वारा व्यक्त किया जाता है। यह किसी एक-विमीय माध्यम — जैसे तनी हुई डोरी, ध्वनि का स्तंभ या किसी विद्युतचुंबकीय क्षेत्र का घटक — पर स्थित किसी बिंदु के अनुप्रस्थ विस्थापन y को दर्शाता है, जो स्थिति x और समय t के साथ बदलता रहता है। $ \omega t $ के आगे ऋण चिह्न इस बात का संकेत है कि तरंग धनात्मक x-दिशा में आगे बढ़ रही है।

x-अक्ष पर आयाम और तरंगदैर्ध्य दिखाती हुई ज्यावक्रीय गतिशील तरंग — आयाम A और तरंगदैर्ध्य λ वाली एक हार्मोनिक तरंग जो x-अक्ष के अनुदिश चलती है।

प्रतीकों का अर्थ

A आयाम है (अधिकतम विस्थापन)। k कोणीय तरंग संख्या है, जिसकी इकाई rad/m है और जो तरंगदैर्ध्य से $ k = 2\pi/\lambda $ के संबंध द्वारा जुड़ी है। ω कोणीय आवृत्ति है, इकाई rad/s, जो आवृत्ति से $ \omega = 2\pi f $ के संबंध द्वारा जुड़ी है। φ कलांतर स्थिरांक है (रेडियन में), जो $ t = 0 $ और $ x = 0 $ पर तरंग को खिसका देता है।

साइन तरंग के दो स्नैपशॉट जो समय के साथ तरंग संचरण को दर्शाते हुए दाईं ओर खिसकाव दिखाते हैं — t बढ़ने पर तरंग का आकार +x दिशा में $ v = \omega/k $ की गति से खिसकता है।

कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

आयाम, तरंग संख्या k, कोणीय आवृत्ति ω, कलांतर स्थिरांक φ, तथा वह स्थिति x और समय t दर्ज करें जिसके लिए आप गणना करना चाहते हैं। कैलकुलेटर तत्क्षण विस्थापन के साथ-साथ तरंग की तरंगदैर्ध्य, आवृत्ति, आवर्तकाल और कला-वेग बताता है। सभी कोणीय राशियाँ रेडियन में होती हैं।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए $ A = 0.05 \text{ m} $, $ k = 2 \text{ rad/m} $, $ \omega = 3 \text{ rad/s} $, $ \varphi = 0 $, और $ x = 1 \text{ m} $ तथा $ t = 0 \text{ s} $। तब कला $$ kx - \omega t + \varphi = 2(1) - 3(0) + 0 = 2 \text{ rad} $$ होगी। अतः $$ y = 0.05 \cdot \sin(2) = 0.05 \times 0.909297 \approx 0.0454649 \text{ m} $$ तरंगदैर्ध्य $ 2\pi/2 \approx 3.1416 \text{ m} $, आवृत्ति $ 3/2\pi \approx 0.4775 \text{ Hz} $, आवर्तकाल $ 2\pi/3 \approx 2.0944 \text{ s} $, और तरंग चाल $ 3/2 = 1.5 \text{ m/s} $ होगी।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

डिग्री इस्तेमाल करूँ या रेडियन? रेडियन। साइन फलन रेडियन में व्यक्त कला पर कार्य करता है, और k, ω तथा φ — तीनों ही रेडियन-आधारित इकाइयों में होते हैं।

अगर तरंग −x दिशा में चल रही हो तो? धन चिह्न का उपयोग करें: $ y = A \sin(kx + \omega t + \varphi) $। आप इसे ऋणात्मक ω दर्ज करके भी प्राप्त कर सकते हैं।

तरंग चाल $ v = \omega/k $ क्यों होती है? स्थिर कला वाला कोई बिंदु $ kx - \omega t = $ स्थिरांक को संतुष्ट करता है, अतः $ dx/dt = \omega/k $। यह कला-वेग $ \lambda \cdot f $ के बराबर होता है।

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