ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحلّ هذه الأداة المثلث القائم عندما تعرف القاعدة a (الضلع المجاور للزاوية) وزاوية الميل θ المحصورة بين القاعدة والوتر. تعطيك الحاسبة طول الوتر c والارتفاع b (الضلع المقابل للزاوية). الأمر يعتمد على حساب المثلثات الخالص، ويعمل مع أي وحدة طول متناسقة (ملم، سم، م، بوصة) وفي أي بلد.
طريقة الاستخدام
أدخل طول القاعدة والزاوية بالدرجات العشرية، ثم اقرأ قيمة الوتر والارتفاع مباشرة. ومن أبرز استخداماتها أعمال النجارة ومشاريع «اصنعها بنفسك»، وحسابات ميل الطرق والمنحدرات، وأعماق القطع على شكل حرف V في آلات الـ CNC، وتقديرات خط النظر. وإذا كانت زاويتك معطاة بصيغة الدرجات والدقائق والثواني، فحوّلها أولًا: الدرجات العشرية = الدرجات + الدقائق/60 + الثواني/3600 (مثال: \(5 + 12/60 + 6/3600 = 5.2017\) درجة).
شرح المعادلة
في المثلث القائم تقع الزاوية القائمة بين القاعدة a والارتفاع b، أما الزاوية θ فهي محصورة بين القاعدة a والوتر c. وبذلك يكون الضلع a مجاورًا للزاوية θ والضلع b مقابلًا لها، فنحصل على العلاقات المثلثية المعروفة: \(\cos\theta = a / c\)، و \(\sin\theta = b / c\)، و \(\tan\theta = b / a\). وبإعادة ترتيب هذه العلاقات نحصل على الصيغتين العمليتين:
$$c = \frac{a}{\cos\theta} \qquad b = a \cdot \tan\theta$$ وتُحوَّل الزاوية إلى الراديان عبر $$\theta_{rad} = \theta \times \frac{\pi}{180}$$ قبل تطبيق الدوال المثلثية.
مثال محلول
عندما تكون \(a = 1\) و \(\theta = 30\) درجة: نجد أن \(\cos 30 = 0.8660254\)، إذن $$c = \frac{1}{0.8660254} = 1.154701$$ و \(\tan 30 = 0.5773503\)، إذن $$b = 1 \times 0.5773503 = 0.577350$$ وعندما تكون \(a = 10\) و \(\theta = 45\) درجة: يكون \(c = 10 / \cos 45 = 14.142136\) و \(b = 10 \times \tan 45 = 10\).
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن تبقى الزاوية أقل من 90 درجة؟ عند 90 درجة بالضبط تكون \(\cos\theta = 0\)، وبالتالي يصبح \(c = a / 0\) غير مُعرَّف ويتحول المثلث إلى حالة شاذة. والمدى الصحيح للإدخال هو \(0 \le \theta < 90\).
بأي وحدة تظهر النتائج؟ بالوحدة نفسها التي أدخلت بها القاعدة. فالعمليات الحسابية مستقلة عن الوحدة، لذا فإن قاعدة بالملليمتر تعطي وترًا وارتفاعًا بالملليمتر.
هل يمكن أن تكون القاعدة صفرًا؟ القاعدة الصفرية تجعل المثلث ينكمش إلى نقطة واحدة، فيكون \(c = 0\) و \(b = 0\)؛ لذا استخدم طولًا موجبًا للحصول على مثلث حقيقي.
