ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحلّ هذه الأداة المثلث القائم عندما تعرف ضلعيه القائمين: القاعدة a (الضلع الأفقي) والارتفاع b (الضلع الرأسي). وتعطيك زاوية الميل θ عند القاعدة — بالدرجات العشرية وبصيغة الدرجة والدقيقة والثانية (DMS) معًا — إضافة إلى طول الوتر c، وهو الضلع المائل المقابل للزاوية القائمة. الحسابات قائمة على علم المثلثات الخالص، لذا فهي تعمل بالطريقة نفسها في كل مكان ومع أي وحدة طول متناسقة (ملم، سم، متر، بوصة، قدم)؛ فقط احرص على أن تكون القاعدة والارتفاع بالوحدة نفسها.
طريقة الاستخدام
أدخل القاعدة a والارتفاع b. ينبغي أن يكون القياسان متعامدين أحدهما على الآخر (الزاوية القائمة محصورة بينهما). اضغط على «احسب» للحصول على الزاوية والوتر. ومن الاستخدامات الشائعة: حساب ميل الأسطح، ومنحدرات منحدرات الكراسي المتحركة، ونسبة الارتفاع إلى الامتداد في الأدراج، وتحديد مقاسات الحديد بشكل حرف L، وحساب المتجهات في النمذجة ثلاثية الأبعاد، وضبط زوايا التصويب في الروبوتات.
شرح المعادلة
بما أن الزاوية القائمة محصورة بين الضلعين، فإن ظل زاوية القاعدة يساوي الضلع المقابل على الضلع المجاور: \(\tan\theta = b / a\)، ومنه $$\theta = \arctan\!\left(\frac{b}{a}\right)$$ وفي الواقع نستخدم داخليًا \(\operatorname{atan2}(b, a)\) حتى تُعطي القاعدة الصفرية الزاوية 90° بالضبط بدلًا من القسمة على صفر. أما الوتر فيُحسب من نظرية فيثاغورس: $$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$$ وللتعبير عن الزاوية بصيغة DMS، نأخذ الجزء الصحيح من الدرجات D، ثم نضرب الجزء الكسري في 60 للحصول على الدقائق M، ونضرب المتبقي في 60 للحصول على الثواني S.
مثال محلول
عند \(a = 2\) و\(b = 1\): $$\theta = \arctan\!\left(\frac{1}{2}\right) = 26.565051177°$$ وبصيغة الدرجة والدقيقة والثانية يكون ذلك \(26° \; 33′ \; 54.18″\). والوتر هو $$c = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \approx 2.2360679775$$ ومن الأمثلة الشهيرة للتحقق المثلث 3-4-5: عند \(a = 3\) و\(b = 4\) تكون \(\theta = 53.13010235°\) ويكون \(c = 5\) بالضبط.
الأسئلة الشائعة
بأي وحدة يُقاس الوتر؟ بالوحدة نفسها التي استخدمتها للقاعدة والارتفاع، فالأداة لا تتقيّد بوحدة بعينها.
ماذا لو كانت القاعدة تساوي 0؟ يكون المثلث رأسيًا، وتساوي الزاوية 90°، ويساوي الوتر الارتفاع نفسه.
لماذا نستخدم atan2 بدلًا من atan؟ تتجنّب الدالة \(\operatorname{atan2}(b, a)\) القسمة على صفر عندما \(a = 0\) وتُعطي 90° بشكل صحيح، مع توافقها التام مع \(\arctan(b/a)\) لجميع القيم الموجبة للقاعدة.
