ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحلّ هذه الأداة المثلث القائم عندما تعرف ارتفاعه b (الضلع العمودي المقابل للزاوية) ووتره c (أطول ضلع، المقابل للزاوية القائمة). وتعيد لك زاوية الميل ثيتا بالدرجات العشرية وبصيغة الدرجة-الدقيقة-الثانية (د° دق′ ث″)، إضافةً إلى القاعدة a (الضلع الأفقي المجاور). إنها حسابات مثلثية بحتة، لذا تعمل بالطريقة نفسها في أي بلد ومع أي وحدة طول طالما استخدمتها بثبات.
اصطلاح التسمية
تقع الزاوية القائمة بين القاعدة a والارتفاع b. أما الوتر c فيصل بين طرفيهما الحرّين. وتُقاس الزاوية ثيتا عند الرأس السفلي، بين القاعدة a والوتر c، فتكون \(\cos\theta = a/c\)، و\(\sin\theta = b/c\)، و\(\tan\theta = b/a\). وتربط نظرية فيثاغورس بين هذه الأضلاع: \(a^2 + b^2 = c^2\).
كيفية الاستخدام
أدخل الارتفاع b والوتر c بالوحدة نفسها (كلاهما بالأمتار، أو كلاهما بالأقدام، وهكذا). ولكي يكون المثلث صحيحًا يجب أن يكون الوتر موجبًا ولا يقلّ طوله عن الارتفاع. اضغط على زر الحساب للحصول على الزاوية والقاعدة. وتظهر القاعدة بالوحدة نفسها التي أدخلتها.
الصيغة الرياضية
النسبة \(b/c\) تساوي جيب الزاوية ثيتا، ومن ثمّ:
$$\theta = \arcsin\!\left(\frac{\text{الارتفاع }b}{\text{الوتر }c}\right)$$وللتحويل إلى الدرجات نضرب الناتج بالراديان في \(180/\pi\). أما القاعدة فتأتي مباشرة من نظرية فيثاغورس:
$$a = \sqrt{\text{الوتر }c^{\,2} - \text{الارتفاع }b^{\,2}}$$وهي تساوي أيضًا \(a = c\cdot\cos\theta\).
مثال محلول
إذا كان الارتفاع \(b = 1\) والوتر \(c = 2\)، فإن النسبة تساوي \(0.5\)، ومن ثمّ \(\theta = \arcsin(0.5) = 30°\) (30° 0′ 0.00″) وتكون القاعدة \(a = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3} \approx 1.7320508\). وحالة ثانية: عند \(b = 3\) و\(c = 5\) تكون \(\theta \approx 36.8699°\) (36° 52′ 11.63″) و\(a = \sqrt{25 - 9} = 4\).
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن يكون الوتر أطول الأضلاع؟ في المثلث القائم يكون الوتر دائمًا مقابلًا للزاوية القائمة وهو أطول ضلع، لذا لا يمكن أن يتجاوز b طول c؛ وإلا أصبحت قيمة \(\arcsin(b/c)\) غير معرّفة.
ماذا يحدث في الحالات القصوى؟ إذا كان \(b = 0\) فإن الزاوية تساوي 0° وتساوي القاعدة c. وإذا كان \(b = c\) فإن الزاوية تساوي 90° وتكون القاعدة 0 (مثلث منحلّ).
كيف تُقرّب الثواني؟ في صيغة الدرجة-الدقيقة-الثانية تُقرّب الثواني إلى منزلتين عشريتين، مع الترحيل إلى الدقائق أو الدرجات إذا بلغ التقريب 60.
