यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल किसी समकोण त्रिभुज को तब हल करता है जब आपको उसकी ऊँचाई b (कोण के सामने वाली खड़ी भुजा) और कर्ण c (सबसे लंबी भुजा, जो समकोण के सामने होती है) पता हों। यह झुकाव कोण थीटा को दशमलव डिग्री में और साथ ही डिग्री-मिनट-सेकंड (D° M′ S″) में देता है, और इसके अलावा आधार a (बगल वाली क्षैतिज भुजा) भी बताता है। यह पूरी तरह त्रिकोणमिति पर आधारित है, इसलिए यह हर देश में और किसी भी सुसंगत लंबाई की इकाई के साथ एक जैसा काम करता है।
नामकरण की परंपरा
समकोण आधार a और ऊँचाई b के बीच बनता है। कर्ण c इन दोनों के खुले सिरों को जोड़ता है। कोण थीटा को नीचे वाले शीर्ष पर मापा जाता है, जो आधार a और कर्ण c के बीच होता है। इससे मिलता है: \(\cos\theta = a/c\), \(\sin\theta = b/c\) और \(\tan\theta = b/a\)। पाइथागोरस प्रमेय इन सबको आपस में जोड़ती है: \(a^2 + b^2 = c^2\)।
इसका उपयोग कैसे करें
ऊँचाई b और कर्ण c को एक ही इकाई में दर्ज करें (दोनों मीटर में, या दोनों फुट में, इत्यादि)। एक मान्य त्रिभुज के लिए कर्ण धनात्मक होना चाहिए और ऊँचाई से कम से कम उतना ही लंबा होना चाहिए। कोण और आधार पाने के लिए कैलकुलेट दबाएँ। आधार उसी इकाई में दिखाया जाता है जिसमें आपने इनपुट दिए थे।
सूत्र
अनुपात b/c थीटा की sine के बराबर होता है, इसलिए $$\theta = \arcsin\!\left(\frac{\text{Height }b}{\text{Hypotenuse }c}\right)$$ रेडियन में मिले परिणाम को डिग्री में बदलने के लिए उसे \(180/\pi\) से गुणा किया जाता है। आधार सीधे पाइथागोरस से निकलता है: $$a = \sqrt{\text{Hypotenuse }c^{\,2} - \text{Height }b^{\,2}}$$ जो \(c\cdot\cos\theta\) के भी बराबर होता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए ऊँचाई \(b = 1\) और कर्ण \(c = 2\) है, तो अनुपात \(0.5\) होता है, इसलिए \(\theta = \arcsin(0.5) = 30^\circ\) (30° 0′ 0.00″) और आधार \(a = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3} \approx 1.7320508\)। एक दूसरा मामला: \(b = 3\), \(c = 5\) लेने पर \(\theta \approx 36.8699^\circ\) (36° 52′ 11.63″) और \(a = \sqrt{25 - 9} = 4\) मिलता है।
सामान्य प्रश्न (FAQ)
कर्ण सबसे बड़ी भुजा क्यों होनी चाहिए? समकोण त्रिभुज में कर्ण हमेशा समकोण के सामने होता है और सबसे लंबी भुजा होती है, इसलिए b, c से बड़ा नहीं हो सकता; वरना \(\arcsin(b/c)\) परिभाषित ही नहीं होता।
चरम स्थितियों में क्या होता है? यदि \(b = 0\) हो तो कोण \(0^\circ\) होता है और आधार c के बराबर होता है। यदि \(b = c\) हो तो कोण \(90^\circ\) होता है और आधार 0 हो जाता है (एक अपभ्रष्ट या degenerate त्रिभुज)।
सेकंड को कैसे राउंड किया जाता है? डिग्री-मिनट-सेकंड रूप में सेकंड को दो दशमलव स्थानों तक राउंड किया जाता है, और यदि राउंडिंग के दौरान यह 60 तक पहुँच जाए तो उसे मिनट या डिग्री में आगे जोड़ दिया जाता है।
