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輸入計算

請以一致的單位輸入底邊(水平股)與高(垂直股),斜邊也會以相同單位呈現。

數學公式

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結果

Angle θ
26.5650511771
Angle θ (DMS) 26° 33′ 54.18″
斜邊 c 2.2360679775

這個計算機能做什麼

當你已知直角三角形的兩股長度——底邊 a(水平股)與高 b(垂直股)——這個工具就能幫你解出整個三角形。它會算出底邊處的傾斜角度 \(\theta\),同時以十進位度數與度分秒(DMS)兩種格式呈現,並給出斜邊 c(與直角相對的那條斜線)的長度。計算純粹依靠三角函數,因此放諸四海皆準,也適用於任何一致的長度單位(公釐、公分、公尺、英吋、英尺);只要確保底邊與高使用相同單位即可。

使用方式

輸入底邊 a 與高 b,兩者必須互相垂直(直角就位於這兩股之間)。按下計算,即可得到角度與斜邊。常見應用包括:屋頂坡度、輪椅斜坡的傾斜度、樓梯的階高與階深比、L 型鋼材的尺寸計算、3D 建模的向量,以及機器人領域的瞄準角度等。

公式說明

由於直角夾在兩股之間,底角的正切值等於對邊除以鄰邊:\(\tan\theta = b / a\),因此 \(\theta = \arctan(b / a)\)。實際運算時我們採用 \(\operatorname{atan2}(b, a)\),這樣當底邊為零時會剛好得到 90°,而不會出現除以零的錯誤。斜邊則由畢氏定理求得:$$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$$若要將角度換算成度分秒,先取出整數度數 D,將小數部分乘以 60 得到分 M,再把餘下的小數乘以 60 得到秒 S。

直角三角形,底邊為a,高為b,斜邊為c,底角為θ
角度θ由arctan(b/a)求得,斜邊c由畢氏定理求得。

實際範例

當 a = 2、b = 1 時:$$\theta = \arctan(1/2) = 26.565051177°$$換算成度分秒為 \(26° \, 33' \, 54.18''\)。斜邊則是 $$c = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \approx 2.2360679775$$最經典的驗證莫過於 3-4-5 三角形:a = 3、b = 4 時,\(\theta = 53.13010235°\),而 c 恰好等於 5。

直角三角形,底邊3、高4、斜邊5,並標註角度
範例:底邊3、高4,得到斜邊5和約53.13度的角。

常見問題

斜邊使用什麼單位?與你輸入底邊和高時所用的單位相同。本工具不限定任何單位。

如果底邊為 0 怎麼辦?此時三角形呈垂直狀態,角度為 90°,斜邊長度等於高。

為什麼用 atan2 而不是 atan?當 a = 0 時,\(\operatorname{atan2}(b, a)\) 能避免除以零的問題並正確回傳 90°;而對於所有正值底邊,它的結果都與 \(\arctan(b/a)\) 一致。

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