ماذا تفعل هذه الحاسبة
يأخذ العدد المركب الصيغة a + b i، حيث يمثّل a الجزء الحقيقي، ويمثّل b الجزء التخيّلي، أما i فهو الوحدة التخيّلية المعرّفة بالعلاقة \(i^2 = -1\). تتلقّى هذه الأداة عددين مركبين هما \(Z_1 = a + b\,i\) و \(Z_2 = c + d\,i\)، ثم تحسب فورًا جميع العمليات الأساسية الأربع: المجموع والفرق وحاصل الضرب وحاصل القسمة، وتعرض كل نتيجة بالصيغة القياسية \(a + b\,i\).
طريقة الاستخدام
أدخل كل عدد بصيغة عدد مركب، مثل 2+3i أو 3-2i أو -i أو 5 (عدد حقيقي بحت) أو 4i (عدد تخيّلي بحت). يجري تجاهل المسافات، ويُحسب الرمز i وحده على أنه 1i بينما يُحسب -i على أنه -1i. اضغط على زر الحساب لتظهر لك نتائج الجمع والطرح والضرب والقسمة جنبًا إلى جنب.
شرح المعادلات
يتم الجمع والطرح حدًّا بحدّ على النحو: \((a+b\,i) \pm (c+d\,i) = (a \pm c) + (b \pm d)\,i\). أما الضرب فيعتمد على خاصية التوزيع مع العلاقة \(i^2 = -1\)، فينتج \((ac - bd) + (bc + ad)\,i\). وفي القسمة نضرب البسط والمقام في مرافق العدد Z2، فنحصل على جزء حقيقي يساوي \(\frac{ac+bd}{c^2+d^2}\) وجزء تخيّلي يساوي \(\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\).
$$\begin{gathered} z_1 = a + b\,i, \qquad z_2 = c + d\,i \\[1em] z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)\,i \\[0.4em] z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)\,i \\[0.4em] z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (bc + ad)\,i \\[0.4em] \frac{z_1}{z_2} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}\,i \end{gathered}$$
مثال محلول
لنفترض أن \(Z_1 = 2 + 3i\) و \(Z_2 = 4 + 5i\). عندئذٍ يكون المجموع \(6 + 8i\)، والفرق \(-2 - 2i\)، وحاصل الضرب $$(2 \cdot 4 - 3 \cdot 5) + (3 \cdot 4 + 2 \cdot 5)\,i = -7 + 22i.$$ وفي القسمة يكون المقام \(4^2 + 5^2 = 41\)، فيكون الناتج $$\frac{8+15}{41} + \frac{12-10}{41}\,i \approx 0.560976 + 0.048780\,i.$$
الأسئلة الشائعة
ماذا يحدث إذا قسمتُ على صفر؟ إذا كان \(Z_2 = 0\) (أي أن كلًّا من c و d يساوي صفرًا) فإن حاصل القسمة يصبح غير معرّف، لذا يظهر في صف القسمة عبارة "غير معرّف" بينما تبقى النتائج الثلاث الأخرى صحيحة.
هل العمليات إبدالية؟ الجمع والضرب عمليتان إبداليتان، أما الطرح والقسمة فليستا كذلك، لذا تحافظ الحاسبة على ترتيب Z1 ثم Z2 تمامًا كما أدخلته.
هل يمكنني إدخال معاملات سالبة أو عشرية؟ نعم. القيم مثل -1.5+0.5i مدعومة بالكامل، كما تُعالَج المدخلات الحقيقية البحتة أو التخيّلية البحتة تلقائيًا.
