Qué hace esta calculadora
Un número complejo tiene la forma a + b i, donde a es la parte real, b es la parte imaginaria e i es la unidad imaginaria, definida por \(i^2 = -1\). Esta herramienta toma dos números complejos, \(Z_1 = a + b\,i\) y \(Z_2 = c + d\,i\), y calcula al instante las cuatro operaciones básicas: su suma, su resta, su producto y su cociente, devolviendo cada resultado en la forma estándar \(a + b\,i\).
Cómo usarla
Escribe cada número como una expresión compleja, por ejemplo 2+3i, 3-2i, -i, 5 (real puro) o 4i (imaginario puro). Los espacios se ignoran: una i sola equivale a 1i y -i equivale a -1i. Pulsa calcular para ver la suma, la resta, la multiplicación y la división una al lado de la otra.
Las fórmulas explicadas
La suma y la resta se hacen componente a componente: \((a+bi) \pm (c+di) = (a\pm c) + (b\pm d)\,i\). La multiplicación aplica la propiedad distributiva junto con \(i^2 = -1\), lo que da \((ac - bd) + (bc + ad)\,i\). La división multiplica el numerador y el denominador por el conjugado de Z2, produciendo la parte real \(\frac{ac+bd}{c^2+d^2}\) y la parte imaginaria \(\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\).
$$\begin{gathered} z_1 = a + b\,i, \qquad z_2 = c + d\,i \\[1em] z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)\,i \\[0.4em] z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)\,i \\[0.4em] z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (bc + ad)\,i \\[0.4em] \frac{z_1}{z_2} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}\,i \end{gathered}$$
Ejemplo resuelto
Tomemos \(Z_1 = 2 + 3i\) y \(Z_2 = 4 + 5i\). Entonces la suma es \(6 + 8i\), la resta es \(-2 - 2i\) y el producto es
$$(2\cdot 4 - 3\cdot 5) + (3\cdot 4 + 2\cdot 5)\,i = -7 + 22i.$$Para la división, el denominador es \(4^2 + 5^2 = 41\), de modo que el cociente es
$$\frac{8+15}{41} + \frac{12-10}{41}\,i \approx 0{,}560976 + 0{,}048780\,i.$$Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre si divido por cero? Si \(Z_2 = 0\) (es decir, tanto c como d valen cero), el cociente no está definido, así que la fila de la división muestra «indefinido» mientras que los otros tres resultados siguen siendo válidos.
¿Son conmutativas las operaciones? La suma y la multiplicación sí son conmutativas; la resta y la división no lo son, por lo que la calculadora respeta el orden Z1 y luego Z2 tal como lo introduces.
¿Puedo introducir coeficientes negativos o decimales? Sí. Valores como -1.5+0.5i están totalmente admitidos, y las entradas reales puras o imaginarias puras se gestionan de forma automática.
