ما هي حاسبة دوال التوافقيات الكروية؟
التوافقيات الكروية \(Y_{n}^{m}(\theta,\phi)\) هي الجزء الزاوي من حلول معادلة لابلاس في الإحداثيات الكروية. وتشكّل أساسًا متعامدًا متجانسًا كاملًا على سطح الكرة، وتظهر في كل مكان تقريبًا في الفيزياء والهندسة: المدارات الذرية في ميكانيكا الكم، ومفكوكات الأقطاب المتعددة في الكهرومغناطيسية والجاذبية، وإشعاع الخلفية الكونية الميكروي في علم الكونيات، والنماذج الجيومغناطيسية في الجيوفيزياء، ونماذج الإضاءة في رسوميات الحاسوب. تحسب هذه الأداة قيمة التوافقية المركّبة لدرجة \(n\) ورتبة \(m\) وزاوية قطبية (سمتية) \(\theta\) وزاوية أفقية \(\phi\) تختارها أنت.
كيفية الاستخدام
اختر الاصطلاح أولًا: النوع A (Wolfram/Mathematica) يستخدم الطور \(e^{i m \phi}\)؛ بينما النوع B (Maple) يستخدم \(e^{i m (\phi+\pi)}\)، ويختلف عنه بمقدار \((-1)^{m}\). أدخِل درجة عددية صحيحة \(n \ge 0\) ورتبة عددية صحيحة \(m\) بحيث يكون \(-n \le m \le n\). اكتب الزاوية السمتية \(\theta\) والزاوية الأفقية \(\phi\) بوحدة الزاوية التي اخترتها (درجات أو راديان — وتنطبق الوحدة نفسها على الاثنتين). حدّد عدد الأرقام المعنوية المراد عرضها، ثم اقرأ الجزأين الحقيقي والتخيلي إضافةً إلى المقدار والطور.
الصيغة الرياضية
لتكن \(x = \cos\theta\). عامل التنظيم هو $$N = \sqrt{\frac{2n+1}{4\pi}\cdot\frac{(n-m)!}{(n+m)!}}.$$ تُبنى دالة لجاندر المرافقة \(P_{n}^{m}(x)\) عبر علاقة تكرارية تنطلق من $$P_{m}^{m}(x) = (-1)^{m}(2m-1)!!(1-x^2)^{m/2}.$$ وعندئذٍ في النوع A: $$Y = N \cdot P_{n}^{m}(x) \cdot \left(\cos(m\phi) + i\cdot\sin(m\phi)\right).$$ أما الرتب السالبة فتُحسب من $$P_{n}^{-m}(x) = (-1)^{m}\frac{(n-m)!}{(n+m)!} P_{n}^{m}(x).$$ وعند القطبين (\(x = \pm 1\)) لا تكون النتيجة غير صفرية إلا عند \(m = 0\).
مثال محلول
القيم الافتراضية، النوع A: \(n=2\)، \(m=1\)، \(\theta=45°\)، \(\phi=0\). عندئذٍ \(x = \cos 45° = 0.7071068\)، و\(\frac{2n+1}{4\pi} = \frac{5}{4\pi} = 0.3978874\)، و\(\frac{(n-m)!}{(n+m)!} = \frac{1}{6}\)، فيكون \(N = \sqrt{0.0663146} = 0.257516\). كما أن \(P_{2}^{1}(x) = -3x\sqrt{1-x^2} = -3\cdot 0.5 = -1.5\). وبما أن \(\phi=0\) فإن الطور يساوي 1، ومن ثم $$Y = 0.257516 \cdot (-1.5) = -0.386274 + 0\,i,$$ والمقدار 0.386274.
الأسئلة الشائعة
لماذا تكون النتيجة مركّبة؟ العامل \(e^{i m \phi}\) يجعل \(Y\) مركّبة ما لم يكن \(m\phi\) مضاعفًا لـ \(\pi\) (مثل \(\phi=0\))، وعندها يتلاشى الجزء التخيلي.
لماذا يُظهر المرجع الذي أملكه القيمة +0.386274؟ بعض المصادر تُهمل طور كوندون–شورتلي \((-1)^{m}\). أما اصطلاح Wolfram أو النوع A فيُدخله ضمن \(P_{n}^{m}\)، ما يعطي القيمة السالبة.
ماذا يحدث عند القطبين؟ عند \(\theta=0\) أو \(180°\) يكون العامل \((1-x^2)^{m/2}\) صفرًا، فتكون \(Y = 0\) لكل \(m \ne 0\)؛ ولا تبقى سوى الحالة \(m=0\).
