球面調和関数 Yₙᵐ(θ,φ) 計算ツール

計算を入力してください

結果

球面調和関数 Y(θ, φ)

-0.386274 + 0 i

複素数値(実部 + 虚部 i)

実部	-0.386274202
虚部	-0
絶対値 \|Y\|	0.386274202
位相(ラジアン)	-3.1415926536
規格化定数 N	0.2575161347
ルジャンドル陪関数 P(x)	-1.5

球面調和関数計算ツールとは

球面調和関数 $Y_{n}^{m}(\theta,\phi)$ は、球座標におけるラプラス方程式の解の角度部分にあたる関数です。球面上で完全正規直交系をなし、物理学や工学のさまざまな分野に登場します。たとえば量子力学の原子軌道、電磁気学や重力での多重極展開、宇宙論における宇宙マイクロ波背景放射、地球物理学の地磁気モデル、さらにコンピュータグラフィックスの照明モデルなどです。本ツールでは、任意の次数 n、位数 m、天頂角(極角)$\theta$、方位角 $\phi$ に対して、複素数値の球面調和関数を計算します。

球面座標の角度 θ と φ、および半径ベクトルを示した球 — 球面座標：鉛直軸から測る天頂角 θ と赤道まわりの方位角 φ。

使い方

まず規約を選びます。type A(Wolfram/Mathematica)は位相因子に $e^{i m \phi}$ を用い、type B(Maple)は $e^{i m (\phi+\pi)}$ を用います。両者は $(-1)^{m}$ だけ異なります。次に、整数の次数 $n \ge 0$ と、$-n \le m \le n$ を満たす整数の位数 m を入力します。続いて天頂角 $\theta$ と方位角 $\phi$ を、選択した角度単位(度またはラジアン。両方に同じ単位が適用されます)で入力してください。表示する有効桁数を選べば、実部と虚部に加え、絶対値と位相が求められます。

計算式

$x = \cos\theta$ とおきます。規格化定数は $$N = \sqrt{\frac{2n+1}{4\pi}\cdot\frac{(n-m)!}{(n+m)!}}$$ です。ルジャンドル陪関数 $P_{n}^{m}(x)$ は、$P_{m}^{m}(x) = (-1)^{m}(2m-1)!!(1-x^{2})^{m/2}$ を初期値として漸化式により求めます。これを用いて、type A では $$Y = N \cdot P_{n}^{m}(x) \cdot (\cos(m\phi) + i\cdot\sin(m\phi))$$ となります。負の位数については $P_{n}^{-m}(x) = (-1)^{m}\frac{(n-m)!}{(n+m)!} P_{n}^{m}(x)$ を用います。極($x = \pm 1$)では $m = 0$ のときのみ値が残り、それ以外は 0 になります。

次数が増す球面調和関数を表す3つのローブ状の角度パターン — いくつかの (n, m) に対する実球面調和関数：正負のローブが交互に並び、次数 n とともに増える。

計算例

初期設定の type A、$n=2$、$m=1$、$\theta=45^\circ$、$\phi=0$ の場合を見てみましょう。$x = \cos 45^\circ = 0.7071068$、$(2n+1)/(4\pi) = 5/(4\pi) = 0.3978874$、$(n-m)!/(n+m)! = 1/6$ なので、 $$N = \sqrt{0.0663146} = 0.257516$$ です。 $$P_{2}^{1}(x) = -3x\sqrt{1-x^{2}} = -3\cdot 0.5 = -1.5$$ となります。$\phi=0$ では位相因子が 1 なので、 $$Y = 0.257516 \cdot (-1.5) = -0.386274 + 0\,i$$ 絶対値は 0.386274 です。