Что такое калькулятор сферических гармоник?
Сферические гармоники \(Y_{n}^{m}(\theta,\phi)\) — это угловая часть решений уравнения Лапласа в сферических координатах. Они образуют полный ортонормированный базис на поверхности сферы и встречаются во множестве задач физики и инженерии: атомные орбитали в квантовой механике, мультипольные разложения в электродинамике и теории гравитации, реликтовое излучение в космологии, модели геомагнитного поля в геофизике, а также модели освещения в компьютерной графике. Калькулятор вычисляет комплексную гармонику для выбранной степени \(n\), порядка \(m\), полярного (зенитного) угла \(\theta\) и азимутального угла \(\phi\).
Как пользоваться
Сначала выберите конвенцию: тип A (Wolfram/Mathematica) использует фазовый множитель \(e^{i m \phi}\); тип B (Maple) использует \(e^{i m (\phi+\pi)}\), что отличается на множитель \((-1)^{m}\). Введите целую степень \(n \ge 0\) и целый порядок \(m\) в пределах \(-n \le m \le n\). Задайте зенитный угол \(\theta\) и азимут \(\phi\) в выбранных единицах угла (градусы или радианы — одни и те же единицы применяются к обоим углам). Укажите количество значащих цифр для вывода, после чего вы увидите действительную и мнимую части, а также модуль и фазу.
Формула
Положим \(x = \cos\theta\). Нормировочный множитель равен $$N = \sqrt{\frac{2n+1}{4\pi}\cdot\frac{(n-m)!}{(n+m)!}}.$$ Присоединённая функция Лежандра \(P_{n}^{m}(x)\) строится по рекуррентному соотношению, начиная с $$P_{m}^{m}(x) = (-1)^{m}(2m-1)!!(1-x^{2})^{m/2}.$$ Тогда для типа A: $$Y = N \cdot P_{n}^{m}(x) \cdot (\cos(m\phi) + i\cdot\sin(m\phi)).$$ Для отрицательных порядков используется $$P_{n}^{-m}(x) = (-1)^{m}\frac{(n-m)!}{(n+m)!} P_{n}^{m}(x).$$ На полюсах (\(x = \pm 1\)) отличны от нуля только значения при \(m = 0\).
Разбор примера
Значения по умолчанию, тип A: \(n=2\), \(m=1\), \(\theta=45^\circ\), \(\phi=0\). Тогда \(x = \cos 45^\circ = 0{,}7071068\), \(\frac{2n+1}{4\pi} = \frac{5}{4\pi} = 0{,}3978874\), \(\frac{(n-m)!}{(n+m)!} = \frac{1}{6}\), поэтому \(N = \sqrt{0{,}0663146} = 0{,}257516\). \(P_{2}^{1}(x) = -3x\sqrt{1-x^{2}} = -3\cdot 0{,}5 = -1{,}5\). При \(\phi=0\) фаза равна 1, и мы получаем $$Y = 0{,}257516 \cdot (-1{,}5) = -0{,}386274 + 0\,i,$$ модуль \(0{,}386274\).
Частые вопросы
Почему результат комплексный? Множитель \(e^{i m \phi}\) делает \(Y\) комплексной величиной, кроме случаев, когда \(m\phi\) кратно \(\pi\) (например, при \(\phi=0\)) — тогда мнимая часть обращается в нуль.
Почему в справочнике приводится +0,386274? В некоторых источниках опускается фазовый множитель Кондона–Шортли \((-1)^{m}\). Конвенция Wolfram (тип A) включает его внутрь \(P_{n}^{m}\), поэтому значение получается отрицательным.
Что происходит на полюсах? При \(\theta=0\) или \(180^\circ\) множитель \((1-x^{2})^{m/2}\) равен нулю, поэтому \(Y = 0\) для всех \(m \ne 0\); остаётся только член с \(m=0\).
